problème N°61 de la semaine (25/12/2006-31/12/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

slt
solution postée
voici la solution de pilot_aziz
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...............
U1=1
U(1+2+1)=2 : c'est le 1er therme egale à 2
U(1+2+3+1)=3 : le 1er therme egale à 3
U(1+2+3+4+1)=4 : le 1er therme egale à 4
.........
.........
U(n(n+1)/2+1)=n : le 1er therme egale à n
U((n+1)(n+2)/2+1)=n+1 : le 1er therme egale à n+1
donc si ,alors Up=n
on a 62*63/2+1=<2006<=63*64/2
donc U(2006)=62

Bonjour à tous,
Solution postée.
voici la solution de Damien

Ma solution :

U_1 = 1
U_2 ; U_3 = 2
U_4 ; U_5 ; U_6 = 3
U_7 ; U_8 ; U_9 ; U_10 = 4
.
.
.

Idée ?

Regarder la progression 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
Le n correspondant alors au dernier indice de U valant n

Explications :

La formule donnant la somme de k = 1 à n vaut n.(n+1)/2 (*)

Pour n=2, cette somme vaut 3 et U_3 = 2 (le dernier « 2 » de la suite)
Pour n=3, cette somme vaut 6 et U_6 = 3 (le dernier « 3 » de la suite)
Et ainsi de suite…

En résolvant l’équation n.(n+1)/2 = 2006, on obtient une équation du second degré où
la seule solution intéressante est n = 62.84 soit, une valeur de n comprise entre 62 et 63.

On peut alors dire que le dernier indice de U valant 62 est U_1953 (cf (*) pour n=62)
et le dernier indice de U valant 63 est U_2016 (cf (*) pour n=63).

U_2006 a donc la valeur 63.


Gorissen Damien.

Bonjour
S.P.
Bonne Année 2007
voici la solution de abdelbaki.attioui
Bonjour
Pour tous n et k dans IN tels que n(n+1)<2k=<(n+1)(n+2) on a U(k)=n+1.
Il s'agit alors de résoudre les inéquations : n(n+1)<4012=<(n+1)(n+2)
==>n²<4012<(n+2)²
==>61<n<64
Comme 62*63=3906 et 63*64=4032
==> n=62
==> U(2006)=63
A+

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor.
On observe que n est la valeur de la suite entre les rangs n(n-1)/2+1 et n(n+1)/2.
On appelle nombre triangulaire un nombre de la forme n(n+1)/2 (n entier).
On cherche donc entre quels nombres triangulaires successifs se trouve 2006.
On résoudra l'équation trinômiale n(n+1)/2=2006.

Pour n=63:n(n-1)/2+1=1954
Pour n=64:n(n-1)/2+1=2017

63 est donc la valeur de la suite entre les rangs 1954 et 2016.

Finalement U2006=63.

A+
Ciao!

Kendor.

solution postée
voici la solution de yalcin
comme pour u_(n(n+1)/2+1)=n+1 ,d'où par encadrement on obtient :

u(m)=(1/2)(1+rac(8m-3)) , donc u(2006)=63

salut tout le monde mes mielleurs voeux de santé bonheur,et succès pour les amateurs des maths.
solution postée.
voici la solution d'aissa
le plus grand p tel que Up=n est ; p= n(n+1)/2
alors n(n+1)/2=2006 => n=63
donc U2006= 63

salut tout le monde et 3id sa3id pour tout les musilmans.
solution postée
voici la solution de selfrespect
salut
on remarque que U_n=k+1
telque k est le plus grand entier verifiant
1+2+...k=<n
on a k(k+1)/2<2006<(k+1)(k+2)/2
==>k²+k=<4008 et k²+3k+2>4012
==>k²+k-4008=<0 et k²+3k-4010>0
==>61.4<k<62.8
==>k=62
donc u_2006=63
oops

Slt
Solution postée
voici la solution de NacerNaute
Salut mr samir
voilà c ma premiere participation ds votr forum

solution: (des indications d réponses)
2006 = 1+2+3+4+......+62 + 53 53<63

U2006 = 63

Bonnes Fetes
Solution Postée

voici la solution de Rockabdels

U1=1
U2=U3=2
U4=U5=U6=3
.
.
Uk=Uk+1=Uk+2=Uk+3=…=Uk+n-1=n
Uk+n=Uk+n+1=Uk+n+2=…=Uk+2n=n+1
On remarque qu’il ya une relation entre k et n qui est :
K= n(n-1)/2 +1 ( on le demontre par recurence)
C A D U n(n-1)/2 +1 = n
On résoud l’equation
F(n)=n²-n+2=2a on obtient : n=1+Rac(8a-7)/2
pour que n£N on prend [1+rac(8a-7)/2]
Donc Un=[1+rac(8n-7)/2)]

Dou U2006=[63.8…]=63

NB : Sans trouver "Un" en fonction de "n" on pouvait resoudre
l’equation
n(n-1)/2+1=2006 on trouvera n£IR on prend sa partie entirere.

solution postée
voici la solution de Benlmir
si on prend un n entire tels que il existe l et k (l<k) Uk+1=n+1 et Ul-1=n-1, pour tout l<=m<=k Um=n on peut remarquer que le dernier indice de la serie c-a-d k vaut 1+2+...+n=n(n+1)/2
dans ce cas on peut remarquer que pour n=62 on a k=1953 et pour n=63 k=2016

ce qui veut dire que [b][center]U2006=63

solution postée
voici la solution de x²=-1

U1=U2-1 U1=U4-2 U1=U7-3 U1=U11-4 ... ...

donc de façon générale U1=Un - (p-1) avec n=1+2+3+....+p-(p-1)

il suffit dc de trouver n pour trouver Un car Un=U1+(p+1)

on doit dans cet exercice calculer U2006
on d'abord trouver Un de façon à ce que Un= U2006 et que Un soit un
"nombre
primorial"(le premier à donner une valeur que vont prendre certains
nombre
suivants,les premiers nombres primordiaux sont 1.2.4.7.11 , c'est un
nom que
j'ai inventer pour plus de pratique)


Tout d'abord
1+2+3+.....+62<2006<1+2+3+4+....+63

on donc trouver un algorythme pour trouver le "nombre primordial" de
n'importe quel nombre
pour ceci prenons l'exemple de huit

1+2+3<8<1+2+3+4 on sait que le nombre primorial de 8 c'est 7 U8=U7

dc U8=U(1+2+3+4-3)

de façon général 1+2+3+...+t<p<1+2+3+4+......+(t+1)

le nombre primordial de p est 1+2+3+4+...+(t+1)-t d'ou
Up=U(1+2+3+4+...+(t+1)-t)


donc l'algorythme est trouvé et aplicable pour n'importe que nombre
on l'appliquera à 2006


1+2+3+....+62<2006<1+2+3+...+63
donc le nombre promordial de 2006 est 1+2+3+...+63-62=1954
d'où U2006=U1954

puique 1954 est primordial donc U1=U1956-a
a=62 (voir début)
donc U1=U1954-62
Alors U1954=U1+62=63

U2006=63

voilà
j'espère que vous serez compréhensif vis à vis de cette méthode et que
vous
accepteriez mes inventions.

bonjour
solution postée
aid moubarak said a tous.
voici la solution d'Abdelilah
nous savons que 1+2+3+...n=n(n+1)/2
on cherche donc le plus grand nombre n verifiant n(n+1)<=4012.
on trouve que c est n=62.
ainsi u_2006 = 63.
a+
Abdelilah

solution postee
solution non trouvée parmis mes mails (administration )

bonjour
solution postée
voici la solution de khamaths
bonjour Samir
aid mobarak said, et très bonne et heureuse année à tous


Remarquons que le terme générale de la suite (U_n) s'écrit sous la forme:

U_ {n(n+1)/2 - k } = n pour tt n >= 1 ;et pour tt 0 <= k < n
La question revient à trouver la valeur de n qui vérifie : n(n+1)/2 - k = 2006
<====> n² +n = 4012 + 2k tel que : 0 <= k < n
=====> n² +n >= 4012 et n² - n < 4012
======> n = 63 et k = 10

conclusion: U_ 2006 = 63
on peut voir les termes de la suite dans cet ordre:


1: U_1
2: U_2 U_3
3: U_4 U_5 U_6
4: U_7 U_8 U_9 U_10
............................
...........................
63: U_1944 .............................U_2006 ............ U_2016 .......................................

Solution Postée

Aid Mobarak Said a tous .
voici la solution de math_pro

Réponse postée.
C'est mon premier message
voici la solution d 'Andrew Wiles

ce probléme me parait pas trés compliqué:

Je pense que : U2006= 63

Merci pour ce probléme qui est assez intérréssant sur le fond

solution postée
voici la solution de conan

votre solution est illisible (administration)

voici la solution de cauchyhakim

cauchyhakim a écrit:

remarque que U_n=k
1+2+...k=<n
on a k(k+1)/2<2006<(k+1)(k+2)/2
=>k²+k=<4008 et k²+3k+2>4012
=>k²+k-4008=<0 et k²+3k-4010>0
=>61.4<k<62.8
=>k=62
alors
u_2006=62

La solution officielle du PB N° 61

Pour tous n et k dans IN tels que n(n+1)<2k=<(n+1)(n+2) on a U(k)=n+1.
Il s'agit alors de résoudre les inéquations : n(n+1)<4012=<(n+1)(n+2)
==>n²<4012<(n+2)²
==>61<n<64
Comme 62*63=3906 et 63*64=4032
==> n=62
==> U(2006)=63

Good.