Théorème de HEINE !!

C'est une réponse au Topic suivant de mouadpimp :
https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/theorme-de-la-heine-t9469.htm#80327

mouadpimp a écrit:

bonjour

pour ceux qui connaisse la demonstration de ce theoreme avec le theorme de bolzano pouvez vous me dire ou la condition selon laquel l intervalle doit etre un segment est utilises???

BJR à Toutes et Tous !!
BJR mouadpimp !!

La démonstration utilise
un argument de COMPACITE (*)
de certaines parties de IR et c'est le cas pour les intervalles non vides , Fermés et Bornés [a;b] de IR c'est à dire les Segments .

(*) : << De toute suite infinie de points d'un COMPACT non vide X de IR , on peut en extraire une sous-suite convergente dans X >>

LHASSANE

merci pour vos reponses
cet argument de compacite n est guere mentionne dans la demonstration que j ai entre les mains.on utilise le fait que d une suite bornee on peut extraire une suite convergenante(la version que j ai du theoreme de bolzano qui ne mentionne pas elle aussi la compacite).je me suis donc demande si on ne pouvait pas refaire la meme demonstration avec un ouvert au lieu d un segment.
peut etre qu on a omis cet argument de compacite car il n est pas du niveau du sup

BSR mouadpimp !!!
Le Théorème de HEINE dit en substance que toute fonction continue sur un segment [a;b] de IR y est UNIFORMEMENT CONTINUE .
La Démo utilise , sans rentrer dans les détails , le Théorème de Bolzano que tu as évoqué et qui n'est en fait qu'une propriété de COMPACITE des segments de IR traduite en langage des suites !!
Celà dit le Th. de HEINE tombe en défaut si tu prends un intervalle borné et OUVERT de IR , un contre-exemple classique :
f : x------> f(x)=1/x définie sur ]0;1[

LHASSANE

il tombe en defaut?? est ce que la demonstration du therome que j ai est erronee ou bien c est le theoreme lui meme qui l est??

BSR moudpimp !!!

La Démo standart de ce Théorème est inattaquable lorsque f est définie sur un SEGMENT de IR !!!!!
Le résultat contenu dans le Th. de HEINE n'est plus vrai si tu remplaces SEGMENT par INTERVALLE Borné et OUVERT !!
Voilà tout !!

LHASSANE

imaginons que nous voulions refaire la meme demonstration standart(qui n utilise pas de compacite) avec un ouvert borne ou se situerait la faille ??

BSR mouadpimp !!!

Pour éviter ces allées et venues incessantes , peux-tu , et c'est pour avoir une référence de ce que l'on discute , scanner ou recopier la Démo que tu as sur le MONNIER !!
De cette manière , je pourrais la lire ( et s'il y a une erreur , le cas échéant , débogger ) et puis voir ensembles pourquoi celà ne fonctionne pas sur un OUVERT BORNE !!
Je t'ai donné auparavant un contre-exemple ou le Th. de HEINE ne marche pas ( f(x)=1/x sur ]0;1[ )

On fait comme ssa !!

LHASSANE