Une enquête fonctionnelle.

Bonjour ;

Quelles sont les fonctions continues f : IR ---> IR vérifiant f²(x) - f²(y) = f(x-y) . f(x+y) pour tous réels x et y bonne réflexion

d'abord

juste sans calcul mais je la determiner aprés si j'aurais de temps avec demo et merci:

--->f(x)=0 pr tt x£IR

----> f(x)=ax (a£IR)

et à la prochaine
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equation fonctionnelle

Bonjour wagshall ;

Mais il y'a aussi les fonctions : x l---> asin(bx) et x l---> ash(bx) ; a , b £ IR sauf erreur bien entendu

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour wagshall ;

Mais il y'a aussi les fonctions : x l---> asin(bx) et x l---> ash(bx) ; a , b £ IR sauf erreur bien entendu

oui peut etre Mr mais comme j'ai dis c'etais une reponse evident !!!! sans calcul mais je l'aurai poster la solution complexe si j'ai finirai quelque travail.
merci
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lol:farao:

Une idée

Si f est solution montrer que l'ensemble de ses zéros est un sous-groupe additif de IR sauf erreur bien entendu

Si f est une solution non identiquement nulle notons Z(f) = { x£IR / f(x)=0 } alors :

f est impaire et Z(f) est un sous-groupe discret de (IR,+)

en effet on a f²(0) - f²(0) = f(0)² donc f(0)=0 et pour tout réel x , f²(0) - f²(x) = f(-x).f(x)
donc f(x)[f(-x)+f(x)]=0 si f(x)#0 alors f(-x)=-f(x)
sinon comme on a aussi f²(x)-f²(-x)=f(0).f(2x)=0 on voit que f(-x)=f(x)=0 d'où l'imparité de f.

on a 0£Z(f) et pour tous x,y£Z(f) , f²(x-y) = f²(x-y) - f²(y) = f(x) . f(x-2y) = 0 donc f(x-y)=0 donc x-y£Z(f)

si Z(f) était dense f serait identiquement nulle par continuité donc Z(f) est de la forme a.ZI où a£IR+

cas a=0 :

f ne s'annule qu'en 0 et par continuité elle garde un signe constant sur chacun des intervalles IR-* et IR+*
et quitte à changer f en -f qui est aussi solution on peut supposer f(x)>0 pour tout x>0
et il va de soit que f(x)<0 pour tout x<0 par imparité.

Pour x>0 fixé et n£IN* considèrons la subdivision régulière de [0,x] , xk = k.x/n , k=0...n

en sommant les égalités f²(xk+1) - f²(xk) = f(x/n) . f((2k+1).x/n) pour k allant de 0 à n-1

on tombe sur l'égalité f²(x) = (n/x).f(x/n).[ S2n(2x) - Sn(2x)/2]

où Sn(2x) est la somme de Riemann (de rang n) de f sur [0,2x]

f étant continue la quantité S2n(2x) - Sn(2x)/2 tend (qd n--->+oo) vers la quantité strictement positive (1/2).int[0,2x]f(t)dt

on en déduit que (n/x).f(x/n) ---> f²(x)/int[0,2x]f(t)dt qd n --->+oo et ce pour tout x>0 à suivre

petite erreur de frappe ;
lire plutôt : on en déduit que (n/x).f(x/n) ---> 2.f²(x)/int[0,2x]f(t)dt qd n --->+oo et ce pour tout x>0.

Si on note pour x>0 , g(x) = x.f(1/x) la fonction g vérifie :

- g est continue sur ]0,+oo[.
- la suite g(nx) admet une limite finie pour tout x>0.

par application du lemme de baire , g admet une limite finie qd x --> +oo autrement dit :
f est dérivable (à droite) en 0 et la quantité 2.f²(x)/int[0,2x]f(t)dt et en fait constante sur IR+* et vaut f 'd(0)
on vérifie facilement (par imparité de f) que f est dérivable (à gauche) en 0 et que f 'g(0)=2.f²(x)/int[0,2x]f(t)dt

c'est à dire qu'on a pour tout réel x , f²(x) = (f '(0)/2).int[0,2x] f(t) dt

et en particulier f est C² sur IR+* ( en fait Coo au moins sur IR* )

pour x>y>0 en dérivant l'égalité f²(x) - f²(y) = f(x-y) . f(x+y) successivement par rapport à x et y on tombe sur :

f ''(x+y) . f(x-y) = f(x+y) . f ''(x-y) ce qui veut dire que f ''/ f est constante sur IR+* à suivre sauf erreur bien entendu

en notant c la valeur de cette constante on a pour tout réel x>0 , f "(x) = c . f(x)
équation différentielle qu'on sait résoudre et la condition [ f impaire et f (x)>0 pour x>0 ] limite les solutions à :

x ---> dx , d>0 ; si c=0

x ---> c.sinh(dx) , c,d>0 ; si c(=d²)>0 où sinh = (exp - 1/exp)/2

remarque :
ainsi l'équation de mathema https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/fonctionelle-t9528.htm
est résolue avec comme (uniques) solutions : x --->0 ; x ---> d.ln²(x) , d>0 et x ---> c.(x^d - 1/x^d)² , c,d>0

à suivre sauf erreur bien entendu

une petite confusion de constantes ,
lire plutôt : x ---> k.sinh(dx) , k,d>0 ; si c(=d²)>0 où sinh = (exp - 1/exp)/2

compte tenu des restrictions faites et de l'imparité de f on conclut que ,
les solutions monotones de notre équation fonctionnelle sont :

x ---> 0
x ---> dx , d£IR*
x ---> k.sinh(dx) , k,d£IR*

(la condition est clairement suffisante vu que ces fonctions vérifient bien l'équation fonctionnelle étudiée)

je ferai un autre post pour l'étude du cas a>0 : sauf erreur bien entendu

cas a>0 :

f ne s'annule qu'en les ka , k£ZI et quitte à changer f en -f on peut supposer que :
f(x)>0 pour tout x£]0,a[ et f(x)=-f(-x)<0 pour tout x£]-a,0[

je dis alors que 2a est une période pour f car pour tout réel x on a ,
f(x+2a).f(x) = f²(x+a)-f²(a) = f²(x+a) >= 0 et f²(x+2a)-f²(x) = f(2a).f(2x+2a) = 0 donc f(x+2a) = f(x)

et comme en plus pour tout x£[0,a] on a f²(a-x)-f²(x) = f(a).f(a-2x) = 0 on voit que f(a-x) = f(x)

et ainsi la connaissance de f sur ]0,a/2] détermine entièrement f .

en procédant , pour x£]0,a/2] , de la même manière que dans le cas a=0 on aboutit à la relation :

f²(x) = (n/x).f(x/n).[S2n(2x) - Sn(2x)/2] et donc que (n/x).f(x/n) ---> 2f²(x)/int[0,2x]f(t)dt qd n ---> +oo

on en déduit alors (par baire) que f est dérivable en 0 et que pour tout x£]0,a/2] , f²(x) = (f'(0)/2).int[0,2x]f(t)dt

et de là (en tenant compte des symétries) que f est en fait au moins C² sur IR
et comme précédemment en dérivant deux fois l'égalité f²(x) - f²(y) = f(x-y) . f(x+y) successivement par rapport à x et y

on tombe sur : f ''(x+y).f(x-y) = f(x+y).f ''(x-y) ce qui veut dire que f ''/ f est constante sur IR-aZI puis sur IR par continuité

et les solutions dans ce cas sont donc bien les fonctions : x ---> c.sin(bx) , c,b£IR*



Conclusion :

Les seules fonctions continues f : IR ---> IR vérifiant f²(x) - f²(y) = f(x-y) . f(x+y) pour tous x , y

sont les fonctions :

- x ---> ax , a£IR

- x ---> asin(bx) , a,b£IR
- x ---> asinh(bx) , a,b£IR sauf erreur bien entendu

Il semble qu'il y'a une autre solution plus simple et sans Baire qui m'a été proposée par un ami Mr Jandri

je la posterai dans les jours qui viennent sauf erreur bien entendu

félécitation pour vous monsieur elhor_abdelali pour la soluce

Merci h99 !! Mais comme je l'ai dis il y'a plus simple

d'aprés la remarque on trouve que cette equation admet f(x)=ax /a£R
f(x)²-f(y)²=a²x²-a²y²
f(x-y)f(x+y)=a(x-y)a(x+y)=a²x²-a²y²
donc ===> f(x)²-f(y)²=f(x-y)f(x+y)
alors f(x)=ax /a£R
merci