Bonsoir;
Je vais changer de notations:
Soit a,b deux entiers naturels non nuls tels que 1+ab divise a²+b²
montrons qu'alors le quotient est un carré parfait.
Pour cela posons
k=(a²+b²)/(1+ab) et supposons que k>1 (vu que 1 est déjà carré parfait),
pour n dans IN considérons l'équation du second degré
(En) : x² - nkx + n²- k = 0 et notons
A={n / (En) admet au moins une solution dans IN }.
A est non vide puisque contient a et b , soit alors
m = min Am est le plus petit entier naturel tel que l'équation (E
m) : x² - mkx + m²- k = 0 admet au moins une solution p dans IN.
en remarquant que m est solution de l'équation (E
p) on voit que p est dans A et donc que m<(=)p
considérons maintenant le trinôme f(x) = x² - mkx + m² - k , il est clair que ses deux racines sont p et mk-p
et vu que f(m) = (1+m²)(2m²/(1+m²) - k )<0 puisque 2m²/(1+m²)<2<(=)k on voit que mk-p<m<p
et comme m est solution de l'équation (E
mk-p) on voit aussi que mk-p<0 c'est à dire que mk+1<(=)p
et par conséquent f(mk+1)<(=)0 en développant cette dernière inégalité on trouve que
m²+1+(m-1)k<(=)0 ce qui ne pourrait se réaliser que si
m=0.Finalement l'équation
(E
0) : x² - k = 0 admet au moins une solution dans IN
(sauf erreurs bien entendu)
Accueil 
