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 Dimension paire

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2 participants
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
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MessageSujet: Dimension paire   Dimension paire EmptyMar 19 Sep 2006, 20:00

Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie n >1. Montrer que n est pair ssi il existe un endomorphisme f de E tel que : f²=-Id où Id est l'identité de E.
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mathman
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MessageSujet: Re: Dimension paire   Dimension paire EmptyJeu 21 Sep 2006, 15:50

n impair --> det (-Id) = -1 --> évident
Il reste l'autre direction.

Bon ok, on divise E = R^(2k) en k sous-espaces orthogonaux R^2.
Et du coup c'est évident. Very Happy
(une p'tite rotation de 90° dans chacun de ces sous-espaces)
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


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MessageSujet: Re: Dimension paire   Dimension paire EmptyJeu 21 Sep 2006, 19:31

oui, mais il y a plus simple
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mathman
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MessageSujet: Re: Dimension paire   Dimension paire EmptyJeu 21 Sep 2006, 19:51

Ah oui tiens! Smile

On considère l'ensemble des valeurs propres; alors le nombre de i's doit être égal à celui des -i's ==> pair.
L'existence devrait être facile. (et faite dans mon post précédent de toute façon ^^)
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


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MessageSujet: Re: Dimension paire   Dimension paire EmptyJeu 21 Sep 2006, 21:32

le spectre de f est {-i,i} !
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MessageSujet: Re: Dimension paire   Dimension paire Empty

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