problème N°128 de la semaine (07/04/2008-13/04/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution postée
voici la solution de rachid18
En multipliant par (x+1)(y+1)(z+1) on trouve qu’on doit prouver que :
x²+y²+z²+x²y+y²x+z²y >= x+y+z+3
On a : x²y+y²x+z²y >=3 (inégalité de moyenne avec xyz=1),
Alors prouvons que : x²+y²+z² >=x+y+z,
On a x²+1>=2x
y²+1>=2y
z²+1>=2z
En sommant on trouve que : x²+y²+z² >= 2x+2y+2z-3
Et puis ce que x+y+z >=3 (inégalité de moyenne avec xyz=1)
Alors 2x+2y+2z-3 >=x+y+z
Alors x²+y²+z² >=x+y+z.
Alors l’inégalité voulue est prouvée.

Solution postée
voici la solution de neutrino
L'inégalité équivaut à:

x²+y²+z²-x-y-z+x²z+y²x+z²y-3>=0
ce qui est trivial en effet ona:
x²+y²+z² >= (x+y+z)²/3 = (x+y+z)*(x+y+z)/3 >= (x+y+z) ( Cauchy+AM-GM)

et x²z+y²x+z²y>=3xyz=3 (AM-GM)

A+

postée
voici la solution de memath
on a :
(1)

par AM-GM :

donc x+y+z>=3 ce qui montre que 1() est vraie

solution postée par e-mail

solution postée
on note S le terme gauche.
S>=0 =>x²+y²+z²+(x²z+z²y+y²x-3)-(x+y+z)>=0
=>x²+y²+z²-(x+y+z)>=0(AM-GM et xyz=1)
=>(x+y+z)((x+y+z)/3-1)>=0 (moyenne quadratique et arithmetique)
=>(x+y+z)>=0 (am-gm et xyz=1)
ce qui est tjs vrais(xyz>0)

c'est bon postée
voici la solution de fezzibasma

(x-1)/(1+y)= (x-1)/(xyz+y) =x/(xyz+y)-1/(xyz+y)
la mm chose ca donne : pr les autres

(y-1)/(1+z)=y/(xyz+z)-1/(xyz+z)

(z-1)/(1+x)=z/(xyz+x)-1/(xyz+x)

puisque 1>0 et xyz>0 donc x>xyz>0

donc x/(xyz+y)> 1/(xyz+y) (xyz)>0
et y/(xyz+z)> 1/(xyz+z)

et z/(xyz+x)> 1/(xyz+x)

avec la somme en bleu ca donne le resultat demandé

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attiouiBonjour
L'inégalité <==> (x²-1)(1+z)+(y²-1)(1+x)+(z²-1)(1+y) >=0
<==> x²+y²+z²-x-y-z+x²z+xy²+yz²>=3
Mais, I.A.G donne x²+y²+z²>=3 (xyz)^(2/3)=3 et
x²z+x²z+xy²>=3(x^5y²z²)^(1/3)=3x
xy²+xy²+yz²>=3(x²y^5z²)^(1/3)=3y
x²z+yz²+yz²>=3(x²y²z^5)^(1/3)=3z
on obtient, en faisant la somme que x²z+xy²+yz² >= x+y+z d'où le résultat.
A+

memath a écrit:

postée
voici la solution de memath
on a :
(1)

par AM-GM :

donc x+y+z>=3 ce qui montre que 1() est vraie

ce n'est pas tjrs valable la premiére inégo , car méme si
1/(1+y)>=1/(1+y+x+t) ca ne signifit pas que (x-1)/(y+1)>=(x-1)/(1+x+y+z) ,(au cas ou x-1 =< 0)
et si c'est vrai malgré cela , alors il faut le prouver