Problème d'octobre 2009

Soit z un nombre complexe tel que Re(z)>0 et |z²-1/2|<1/2. Montrer que |z-1/3|<2/3.

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Pb Oct 2009
Solution postée

Bonjour,

Il y a mieux et plus simple:
Montrer que Re(z)>0 et |z²-1/2|<1/2 entrainent que |z-1/2|<1/2.

La condition |z-1/2|<1/2 est équivalente à (x-1/2)²+y²<1/4 soit encore x²+y²<x soit encore r<cos(t) en passant en coordonnées polaires.
En l'écrivant pour z² on obtient r²<cos(2t)=cos(t)²-sin(t)² d'où r²<cos(t)² qui donne bien, puisque cos(t)>0 , r<cos(t) c'est-à-dire la conclusion.

Le disque de centre 1/2 et de rayon 1/2 est inclus dans le disque de centre 1/3 et de rayon 2/3.

salam mr Jandri

vous dites mieux et plus simple

pourquoi n'avez vous pas posté?

ma solution utilise l'outil le plus simple : le module

donc c'est la plus simple.

avec mes respects.
..

Bonjour Houssa,

Je n'ai pas voulu dire que j'avais une solution plus simple du problème proposé mais je donne un résultat plus fort (car le disque de centre 1/2 et de rayon 1/2 est le plus petit disque contenant les z vérifiant les hypothèses); enfin ce résultat est très simple à justifier car si on connait l'équation polaire de ce disque (r<cos(t)) alors il suffit d'écrire r²<cos(2t)<(cos(t))² pour démontrer la conclusion.