Salam
i)supposons que f injective
soit y de E
donc f(y)=fof(y)
donc f(y)=f(f(y))
f étant injective alors y=f(y)
en posant x=y on a il existe xde E tq f(x)=y
d'où f surjective
suppososns que f surjective
soit x,x'de E tq f(x)=f(x')
x,x' de E , donc il existe y,y' de E tq x=f(y) et x'=f(y')
d'où fof(y)=fof(y')
donc f(y)=f(y')
ainsi x=x'
ii) soit A de E non vide et y de f^-1(A)
On a y£f^-1(A) => il existe x de A tq f(y)=x
or f=fof
donc il existe x de A tq fof(y)=x
comme x=fof(y) £A , alors y£f^-1of^-1(A)
d'où f^-1(A) C f^-1of^-1(A)
par une méthode presque analogue , on trouve que
f^-1of^-1(A) C f^-1(A)
doù le résultat
A+!!
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