application

salam ,

soit E un ensemble , et f une application de E vers E tel que : fofof=f

montrez que f injective <==> f surjective

et merci d'avance ,

salam

1) si f est injective

pour tout x € E

fofof(x) = f(x) ===> fof(x) = x ====> x admet un antécédent f(x)

===> f surjective

2) si f est surjective

soient f(x) = f(y) ===> il existe a , b / x=f(a) et y=f(b)

===> fof(a) = fof(b) ====> il existe m et n / a=f(m) et b=f(n)

===> fofof(m) = fofof(n) ====> f(m) = f(n)

===> a = b ====> f(a) = f(b) ===> x = y

===> f injective
...

houssa a écrit:

salam

1) si f est injective

pour tout x € E

fofof(x) = f(x) ===> fof(x) = x ====> x admet un antécédent f(x)

===> f surjective

2) si f est surjective

soient f(x) = f(y) ===> il existe a , b / x=f(a) et y=f(b)

===> fof(a) = fof(b) ====> il existe m et n / a=f(m) et b=f(n)

===> fofof(m) = fofof(n) ====> f(m) = f(n)

===> a = b ====> f(a) = f(b) ===> x = y

===> f injective
...

sauf erreur ^^