3 exos tres intéressants(logique)

EX1 :
montrer par récurrence que : 4^n (3n-1)+1 = 9k

EX2 :
soit a et b deux nombres appartenant a Q, tel que a=/=b (a est différent a b)
on a : M=(a+bV2)/(1+V2)
1// Montrer que M=/=b
2//montrer que M n'appartient pas a Q

EX3:
soit a et b deux nombres réels strictement positifs:
Démontrer que : quelque soit n de N : ((a+b)/2) =< (a^n+b^n)/2

Bonne chance =D

rajaa16 a écrit:

EX1 :
montrer par récurrence que : 4^n (3n-1)+1 = 6k

EX2 :
soit a et b deux nombres appartenant a Q, tel que a=/=b (a est différent a b)
on a : M=(a+bV2)/(1+V2)
1// Montrer que M=/=b
2//montrer que M n'appartient pas a Q

EX3:
soit a et b deux nombres réels strictement positifs:
Démontrer que : quelque soit n de N : ((a+b)/2) =< (a^n+b^n)/2

Bonne chance =D

salut
je crois qu'il y a une faute dans la 1ére question
prend n=1
4^1 (3*1-1)+1 = 9 !!!

C corrigé, je voulais écrire: 9k
merci =)

rajaa16 a écrit:

C corrigé, je voulais écrire: 9k
merci =)

pas de probléme ...

salut
pour la 2éme exo :
1)
on suppose que
M = b
(a+bV2)/(1+V2) = b
a+bV2 = b + bV2
a = b
contradiction car a=/=b (a est différent a b)

Exo 3

M.q (a+b)/2≤(a^n+b^n)/2 <=> a+b≤a^n+b^n
∀n∈IN a≤a^n et b≤b^n
donc a+b≤a^n+b^n
Conclure.

elle a oublier de dire que n est strictement positif.

oui car si n est strictement positif et n de IN
alors
n >= 1
car
si n=0 et a>1 on trouver une contradiction avec a≤a^n<==>a≤1

je crois que pour la 1ére exercice c'est un peu difficle ...

Moncefelmoumen a écrit:

Exo 3

M.q (a+b)/2≤(a^n+b^n)/2 <=> a+b≤a^n+b^n
∀n∈IN a≤a^n et b≤b^n
donc a+b≤a^n+b^n
Conclure.

et si a et b e ]0.1]

en attendant votre aide pour resoudre la 1ére exo ...

Salut, pour le 3eme exo, n n'est pas strictement positif, alors on ne peut pas conclure que a=<a^n.
On doit résoudre par récurrence, mais je n'y suis pas encore arrivée.
Quelqu'un a pu résoudre la 2eme question du 2eme exo?

Pour le 1er exo, c'est tres facile, si vous voulez que je poste la réponse, dites le moi

yallah !

si a;b sont de R prennez a,b£[0,1[ et n=1

rajaa16 a écrit:

Salut, pour le 3eme exo, n n'est pas strictement positif, alors on ne peut pas conclure que a=<a^n.
On doit résoudre par récurrence, mais je n'y suis pas encore arrivée.
Quelqu'un a pu résoudre la 2eme question du 2eme exo?

Pour le 1er exo, c'est tres facile, si vous voulez que je poste la réponse, dites le moi

oui svp dans le plus tot possible ...

on suppose que 4^n (3n-1)+1 = 9k
on doit montrer que 4^(n+1) (3n+2)+1 = 9k

Apres la vérification on a :
4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
= 9 k + 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 9k+3(9k-1) +3 * 4^(n+1)
= 9k+3*9k -3 + 3*4^(n+1)
= 9 k' + 3 (4^(n+1)-1 )
puis, on montre par récurrence encore, que 4^(n+1)-1 = 3k, c'est facile, et on conclut ...

rajaa16 a écrit:

on suppose que 4^n (3n-1)+1 = 9k
on doit montrer que 4^(n+1) (3n+2)+1 = 9k

Apres la vérification on a :
4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
= 9 k + 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 9k+3(9k-1) +3 * 4^(n+1)
= 9k+3*9k -3 + 3*4^(n+1)
= 9 k' + 3 (4^(n+1)-1 )
puis, on montre par récurrence encore, que 4^(n+1)-1 = 3k, c'est facile, et on conclut ...

salut !!
j'ai pas bien compris comment vous avez fait pour passer à la deuxiéme ligne ...
4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1 + 3) + 1
= 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
= 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1) + 3n-1 + 1
= 3n + 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 3n + 3 *(9k-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 3n + 27k - 3 + 3*4^n * 4

jusqu'à ici j'ai bien compris !

4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1 + 3 )+ 1
= 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
j'espere que c'est clair maintenant =)

oui j'ai compris ...
mais qu'est ce que t'as fait pour entrer 9k ???

d'apres la supposition on a : 4^n (3n-1)+1 = 9k

pouvez-vous mieux expliquer ??
3n + 27k - 3 + 3*4^n * 4
pouvez -vous continuer lexo avec mieux de details des cette ligne...
merci

il ya une faute dans la 3eme ligne de ta démonstration :
= 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1) + 3n-1 + 1

correction : 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1) + 4^n(3n-1) + 1

oui j'ai bien compris ...Merci beaucoup...

Y a pas de quoi

Koutaiba a écrit:

salut
pour la 2éme exo :
1)
on suppose que
M = b
(a+bV2)/(1+V2) = b
a+bV2 = b + bV2
a = b
contradiction car a=/=b (a est différent a b)

2)
on suppose que M appartient a Q
E (p,q)appartient à (Z.IN*) : (a+bV2)/(1+V2)=p/q
et p/q sont premiers entre eux
alors
a+bV2 = p
et
1+V2 = q
.......