arithmétique

soit (x,y,z) une solution entière de x²+y²+1=xyz
montrer que z=3

x²+y²>=2xy
==> xyz>2xy
==> z>2 ( xyz>0)

.. à suivre

Quand x^2+y^2+1=xyz alors aussi a^2+y^2+1=ayz avec a= (y^2+1)/x.
Par ça, ça devient plus petit. Je n'ai pas vérifié à quel point, mais c'est plus petit...
(probablement x=y=1 à la fin)

Ok oui ça finit avec ça.
Supposons x >= y, alors :
a= (y^2+1)/x = y^2/x + 1/x <= x+1/x
Ok cas x=y:
ça donne immédiatement z=3.
Donc x>y.
Arg, il reste le cas stupide x=y+1.

Un moment..

Ok, mieux :
x >= y+1
Vu qu'ils sont entiers :
y^2+1 < (y+1)^2 <= x^2
a= (y^2+1)/x < x
Donc on a une solution plus petite tant que x <> y [note: rôles de x, y peuvent changer]
Mais il n'y a pas de solutions arbitrairement petites parce que l'on travaille avec des entiers. (petit défini par min(x,y))
Donc on doit finir par atteindre x=y, et là c'est fini.