Problème d'Aout 2006

Soient a,b,c et d des réels tels que:


Montrer que modulo 2Pi on a :
{a,b}={c,d} ou a=b+Pi et c=d+Pi

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Bonjour,

Solution postée

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Patrick

Bonjour,

Je vais étudier le nombre de solutions de l'équation en (a,b) e^(ia)+e^(ib)
= z0

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1) approche géométrique
Si z0 = 0, on a bien sûr e^(ia) = e^(i(b+pi)) et a = b+ pi [2pi]
Sinon, si M est d'affixe z0, il s'agit de construire un parallélogramme de
côtés unité et de diagonale OM. Il y a au plus un tel parallélogramme. Si
(a,b) est solution, la seule autre (modulo 2pi) est alors (b,a).

Donc : si e^(ia)+e^(ib) = e^(ic)+e^(ic), (a,b) et (c,d) sont deux solutions
de la même équation et on a bien :
Soit a = b + pi[2pi] et c = d+pi [2pi=]
Soit {a,b} = {c,d} modulo 2pi.


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2) approche algébrique.
Si z0 = 0, on a bien sûr e^(ia) = e^(i(b+pi)) et a = b+ pi [2pi]
Si z0 0, e^(ia) + e^(ib) = z0 ==> (e^(ia) + e^(ib))(e^(-ia) + e^(-ib)) =
z0conj(z0) ==> e^(i(b-a)) + 1/e^(i(b-a)) = module(z0)^2 - 2
Donc e^(i(b-a)) ne peut prendre que deux valeurs et, puisque e^(ia)( 1 +
e^(i(b-a))) = z0, e^(ia) ne peut prendre que deux valeurs.

L'équation e^(ia) + e^(ib) = z0 a au plus deux solutions (a,b) et (b,a).

Donc : si e^(ia)+e^(ib) = e^(ic)+e^(ic), (a,b) et (c,d) sont deux solutions
de la même équation et on a bien :
Soit a = b + pi[2pi] et c = d+pi [2pi=]
Soit {a,b} = {c,d} modulo 2pi.

--
Patrick

Bonjour;
Solution postée
Bonjour abdelbaki;
Dans cette preuve je fais appel à la structure euclidienne canonique du corps des nombres complexes.
Montrer que (P)===>[(Q)ou(R)] est équivalent à montrer que [(P)et non(Q)]===>(R).
Supposons alors qu'on ait:
exp(ia)+exp(ib)=exp(ic)+exp(id) et {a,b} # {c,d} modulo 2Pi
(*) si a=b modulo 2Pi on aurait 2exp(ia)=exp(ic)+exp(id) et donc
|exp(ic)+exp(id)|=2=|exp(ic)|+|exp(id)|
le cas d'égalité dans l'inégalité de cauchy shwartz donne alors que les deux vecteurs
unitaires exp(ic) et exp(id) sont coolinéaires de même sens ce qui n'est possible que s'ils sont égaux c'est à dire que c=d modulo 2Pi mais alors on aurait {a,b} = {c,d} modulo 2Pi.
(*) Les quatres points (du cercle unité) A(exp(ia)),B(exp(ib)),C(exp(ic) et D(exp(id)) étant 2 à 2 distincts et les segments [A,B] et [C,D] ayant même milieu E((exp(ia)+exp(ib))/2=(exp(ic)+exp(id))/2) il s'ensuit que le quadrilatère inscriptible ACBD est un parallélogramme dont les médiatrices des diagonales se coupent en E or on sait déjà que ces médiatrices se coupent en O(0).
On conclut que exp(ia)+exp(ib)=exp(ic)+exp(id)=0 c'est à dire que
a=b+Pi et c=d+Pi modulo 2Pi CQFD (sauf erreur bien entendu)

bonjour
solution postée
on a exp(ia)+exp(ib)=exp(ic)+exp(id)
veut dire : cos(a)+cos(b)=cos(c)+cos(d) et sin(a)+sin(b)=sin(c)+sin(d) (*)
ce qui donne : cos(a+b/2)cos(a-b/2)=cos(c+d/2)cos(c-d/2) et sin(a+b/2)cos(a-b/2)=sin(c+d/2)cos(c-d/2)
si cos(a-b/2)=cos(c-d/2)=0 alors a=b+pi[2pi] et c=d+pi[2pi] sinon cos(a-b/2)=cos(c-d/2)
ou cos(a-b/2)=-cos(c-d/2).
ces deux derniers cas sont symetriques (vu la symetrie (q,c,b,d)).
on traite cos(a-b/2)=cos(c-d/2) non 0 et tjr vu la symetrie nous ne traitons que (**) a-b/2=c-d/2[2pi] et depuis (*)
nous avons cos(a+b/2)=cos(c+d/2) et sin(a+b/2)=sin(c+d/2) alors (***) a+b/2=c+d/2[2pi].
enfin (**)et (***) concluent.

abdelilah