suite et fonction (un peu bloqué) (un peu urgent )

soit f une fonction definie par : f(x)=2+(a/x) tel que x£ IR+* et 0<a<2
1- etudier les variation de f et demontrer que f(x)=x admet une seule et unique solution @£ IR+*
2-les suites suivantes
U(n+1)=f(Un) , Vn=U(2n) , Wn=U(2n+1)
Uo=a

- demontrer que 0<Vn<@<Wn
- montrer que (Vn) est accroissante et (Wn) est decroissante
- on admet que W(n+1)-V(n+1)<ou= a/(2Vn+a) (Wn-Vn)
demontrer qu'il existe un k£]0,1[ tel quel W(n+1)-V(n+1)<ou=k(Wn-Vn)
- deduit que (Vn) et (Wn) sont convergente et ont la meme limite et determine la

1/soit b et c de R+* tel que b>c
b>c==>f(b)<f(c)=+>f strictement decroissante sur R+*
et on a f continue sur R+* car x|-->a/x continue sur R+*
donc f bijection de R+* vers ]2.+00[
si x e ]0.2[S=0/ si x e [2.+00[ alors E!@ e R+*/f(@)=@
donc fx=x admet une seule et unique solution @e R+*
2/montrons dabord que @<3
on considere h(x)=fx-x h continue sur R+* et on a
h(2)=a/2>0 et h(3)=a-9/3<0 donc E! e ]2.3[/h(@)<=>f(@)=@ donc @ <3 et @>2>a
reccurence :pour n=0
V0=U0=a
W0=U1=f(U0)=f(a)
et on a 0<a<@<3 ceci est vrai
soit n de N supposons pour n et demontrons pour n+1
on a 0<Vn<@<Wn
f decroissante sur R+* et f(R+*) C R+*==>fof strictement croissante sur R+* donc
0<fof(Vn)<fof(@)<fof(Wn)==>Vn+1<@<Wn+1 car fof(Vn)=Vn+1 et fof(Wn)=Wn+1 et fof(@)=f(@)=@
donc qqsoit n de N 0<Vn<@<Wn
3/pour n=0 on a V0=a et V1=fof(a)>a donc V1>V0
et W0=U1=f(a) W1=U3=f(fof(a))
on a fof(a) >a et f decroissante sur R+* donc f(a)>f(fof(a))==>W0>W1
donc la relation est vraie pour n=0
soit n de N supposons que Vn<Vn+1 et Wn>Wn+1 et demontrons que Vn+1<Vn+2 et Wn+1>Wn+2
Vn<Vn+1==>fof(Vn)<fof(Vn+1)==>Vn+1<Vn+2
Wn>Wn+1==>fof(Wn)>fof(Wn+1)==>Wn+1>Wn+2
donc (Vn) croissante et (Wn)decroissante

merci L

4/ on a W(n+1)-V(n+1)<ou= a/(2Vn+a) (Wn-Vn)
et 0<a/2Vn+a<a/a=1 don E k =a/2Vn+a e ]0.1[ tel que
W(n+1)-V(n+1)<ou=k (Wn-Vn)
5/ apr reccurence on demontre que
0<Wn-Vn<k^n (W0-V0)
comme limk^n=0 car k e ]0.1[
alors limWn-Vn=0 et on a (Wn) decroissante et (Vn) croissante donc (Wn) et (Vn) sont adjacentes d'ou convergentes et ont la meme limites l
on a Wn=U2n+1 et Vn=U2n >0==>Wn=f(Vn)=>Wn=2+a/Vn
limWn=limVn=l ===>l=2+a/l==>l=@
sauf erreur