structure de groupe

f(a,b) : C---->C tq f(a,b)=az+b a£C* b£C (l'ensemble des complexes)Montrer que ({ f(a,b)}, o) est une groupe !

stracovic17 a écrit:

f(a,b) : C---->C tq f(a,b)=az+b a£C* b£C (l'ensemble des complexes)Montrer que ({ f(a,b)}, o) est une groupe !

BJR à Toutes et Tous !!
On pose B =Ensemble des Bijections de C dans lui-même .
On munit B de la Loi de Composition Interne notée o ( ROND )
On sait que {B,o} a une structure de Groupe Non Abélienne .
d'élément neutre noté Id ( z--------->z de C dans C )
Celà étant , si a est dans C et a<>0 alors il est immédiat que f(a,b) est une bijection de C dans lui-même .
On va montrer ( et c'est plus économique ) que :
E={ f(a,b) ; a dans C* et b dans C } est un sous-groupe de B .
1) Id=f(1,0) est dans E donc E est <> VIDE
2) Tout f(a,b) de E est inversible et {f(a,b)}^(-1)=f(1/a,-b/a)=(1/a).f(1,-b)
3) Pour tout a,s dans C* et tout b,t dans C
f(a,b)of(s,t)=f(as,at+b) donc E est une partie de B stable pour ROND.
Cette dernière relation montre en plus que {E,o} n'est pas commutatif puisque
f(a,b)of(s,t) n'est pas égal à f(s,t)of(a,b) .

Voilà Tout !!!