Problème de Novembre 2008

Existe t-il des fonctions f :IR+ --> IR continues bornées telles que
f(x)=(int de 0 à x) exp^(-t²)dt/(1+f(t)²) ?

Salut,
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salut,j'ai résolu le problème (il n'est pas du tout difficil) et j'éspére pouvoir l'envoyer prochainement...

Bonjour ,
solution posté en privée aujourd'hui à 14.36 ésperons qu'elle soit la bien reçue .
a+

Bonjour :
Existe t-il des fonctions f :IR+ --> IR continues bornées telles que
f(x)=(int de 0 à x) exp^(-t²)dt/(1+f(t)²) ?
Réponse :
Supposons qu 'il existe une telle fct ( f(0)=0) :
une récc assure que f est C(infini) : derivons la relation de depart => f'(x)=exp(-x²)/[1+f(x)²]-1 *
Le fait que f borné et * assure que f'(x)<-1/2 d'un certain rang donc une intégration assure que f nn borné !!
C/C : Une telle fct n'existe pas non plus !.
a+

Solution

Soit E= l'e.v des fonctions continues et bornées de IR+ dans IR.
E muni de la norme uniforme est un espace de Banach.
L'endomorphisme T: E --> E défini par:
T(f)(x)=(int de 0 à x) exp^(-t²)dt/(1+f(t)²) est une application contractante. D'aprés le th. du point fixe ....

l'equation est equivqlente a:

donc:

alors:

donc:

puisque:

ce qui montre que f est bornee.