h périodique?

Soient f et g deux fonctions non constantes, continues et périodiques de R dans R.
Est-il possible que la fonction h sur R donnée par h(x) = f(x g(x)) soit périodique?

Bonjour,

f de période p continue
g de période q continue
h de période r avec h(x) = f(xg(x)) continue

Lemme : a irrationnel <=> {frac(na), n dans N} dense dans [0,1[
Je laisse la démonstration au lecteur (mais je peux la donner, bien sûr)

Alors.
1) supposons q/r irrationnel
g(x) continue non constante ==> il existe x0 tq q*g(x0)/p soit rationnel ==> il existe k1 et k2 dans N* tels que k1*q*g(x0) = k2*p
Alors : h(x0 + n*k1*q) = f((x0 + n*k1*q)g(x0 + n*k1*q)) = f((x0 + n*k1*q)g(x0)) = f(x0*g(x0) + n*k1*q*g(x0)) = f(x0*g(x0) + n*k2*p) = f(x0*g(x0)) = h(x0)
Comme : h(x0 + n*k1*q) = h(x0 + r*frac(n*k1*q/r))
Donc : h(x0 + r*frac(n*k1*q/r)) = h(x0)
D'après le lemme : q/r irrationnel ==> {frac(n*k1*q/r)} dense dans [0,1[ et donc {r*frac(n*k1*q/r)} dense dans [0,r[
h(x0 + r*frac(n*k1*q/r)) = h(x0) ET {r*frac(n*k1*q/r)} dense dans [0,r[ ET h continue ==> h constante sur [x0, x0+r[ ==> h constante sur R

2) supposons q/r rationnel
Il existe k1 et k2 dans N* tels que k3*q = k4*r.
g(x) continue non constante ==> il existe x0 tq k4*r*g(x1)/p soit irrationnel
Alors :
f(x1*g(x1)) = h(x1) = h(x1 + n*k4*r) = f((x1 + n*k4*r)g(x1 + n*k4*r)) = f((x1 + n*k4*r)g(x1 + n*k3*q)) = f(x*g(x1) + n*k4*r*g(x1))
f(x1*g(x1)) = f(x*g(x1) + p*frac(n*k4*r*g(x1)/p))
D'après le lemme :
k4*r*g(x1)/p irrationnel ==> {frac(n*k4*r*g(x1)/p), n dans N} dense dans [0,1[ ==> {p*frac(n*k4*r*g(x1)/p), n dans N} dense dans [0,p[
f(x1*g(x1)) = f(x1*g(x1) + p*frac(n*k4*r*g(x1)/p)) ET {p*frac(n*k4*r*g(x1)/p), n dans N} dense dans [0,p[ ET f continue
==> f constante sur [x1*g(x1), x1*g(x1) + p[ ==> f constante sur R

Donc il n'existe pas f, g, h remplissant les conditions requises.

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Patrick

Lemme : a irrationnel <=> {frac(na), n dans N} dense dans [0,1] (fermé)
Ici il faut péciser que frac(na)=na-E(na) est la partie fractionnaire de na.
C'est classique on utilise la régle des tiroirs par exemple.

D'autre part, je ne vois pas de contradiction lorsque tu montres que h est constante. En revanche, ceci implique-t-il que f est constante? ou g constante nulle?

Bonjour abdelbaki.attioui

abdelbaki.attioui a écrit:

Lemme : a irrationnel <=> {frac(na), n dans N} dense dans [0,1] (fermé)
Ici il faut péciser que frac(na)=na-E(na) est la partie fractionnaire de na.
C'est classique on utilise la régle des tiroirs par exemple.

Oui pour ta précision sur la notation frac(x).
Quant à la règle des tiroirs, il faut aller un peu plus loin. Elle permet aisément de prouver que {frac(na), n dans N} possède un point d'accumulation dans [0,1]. Mais pour montrer que cet ensemble est dense dans [0,1] (donc que tout point de [0,1] est point d'accumulation), il faut aller un tout petit peu plus loin.

abdelbaki.attioui a écrit:

D'autre part, je ne vois pas de contradiction lorsque tu montres que h est constante. En revanche, ceci implique-t-il que f est constante? ou g constante nulle?

Oui encore, tu as raison. Il faut aller un peu plus loin :
g(x) continue ==> xg(x) continue
g(x) non constante ==> il existe x0 tel que g(x0) non nul.
g(x) périodique ==> (x0+nq)g(x0+nq) peut être aussi grand (+oo) et aussi petit (-oo) que l'on veut en jouant sur n.
==> xg(x), continue pouvant être aussi grande (+oo) et aussi petite (-oo) que l'on veut, est surjective
==> Pour tout x de R, il existe y de R tel que x = yg(y) ==> f(x) = f(yg(y)) = h(y) = c
==> f constante

Voilà.

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Patrick