f continu et périodique

Prends donc
f IR------> IR
x -------> f(x)=x
Cela te convient-il comme contre-exemple ????
A+

pardone , je voulais dire périodique

Si T est sa période alors il suffit de travailler avec f sur [0;T]
Or f est continue sur le segment [0;T] donc elle y est BORNEE par suite de la périodicité elle est partout BORNEE sur IR .
Heureusement qu'elle est périodique sinon c'est la cata ......
A+

Oeil_de_Lynx a écrit:

Si T est sa période alors il suffit de travailler avec f sur [0;T]
Or f est continue sur le segment [0;T] donc elle y est BORNEE par suite de la périodicité elle est partout BORNEE sur IR .
Heureusement qu'elle est périodique sinon c'est la cata ......
A+

de quel catastrophe vous parlez?

BJR lonly !!!
C'est une façon de parler !!!

lonly a écrit:

salut
f contunie et périodique sur lR , montrer alors que f est borné

Si ce qui précède était vrai , ce serait une véritable catastrophe pour les Maths !!!! Mais , tu as rectifié ......et c'est l'essentiel !!!
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Si T est sa période alors il suffit de travailler avec f sur [0;T]
Or f est continue sur le segment [0;T] donc elle y est BORNEE par suite de la périodicité elle est partout BORNEE sur IR .
Heureusement qu'elle est périodique sinon c'est la cata ......
A+

plutot est [0.T/2]

car exemple la periode de cos est 2pi===>D_e=[0;pi]

BJR badr , pour pouvoir réduire le domaine d'étude de f périodique de période T , il te faudrait invoquer des symétries ayant pour origine PAR EXEMPLE la parité ou l'imparité de f , et ici on ne suppose RIEN là-dessus !!!!!
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR badr , pour pouvoir réduire le domaine d'étude de f périodique de période T , il te faudrait invoquer des symétries ayant pour origine PAR EXEMPLE la parité ou l'imparité de f , et ici on ne suppose RIEN là-dessus !!!!!
A+ LHASSANE

oui bien sure et on conclut que f(0)<=f(x)<f(t) { d'ou le resultat}

la fonction tan nest pas bornée

mais elle n'est pas continue!!

ahh ok , dsl

soit t la période de f
considérons l intervale [kt;(k+1)t[ tel que kest dans Z
f est continue sur [kt;(k+1)t[ (car ellle est est continue sur IR)
donc elle admet une borne sup (M) et une borne inf (m)
ce qui veut dire pour tout x de [kt;(k+1)t[ , m<f(x)<M (*)
d autre part f est periodique donc pour tout a deZ
f(x+at)=f(x) (**)
de (*) et (**) on déduit que
pour tout a de Z et pour tout x de[kt;(k+1)t[; m<f(x+at)<M
en posant X=x+at
on déduit pour tout XdeIR ; m<f(X)<M
c est aussi simple que ça

o0aminbe0o a écrit:

soit t la période de f
considérons l intervale [kt;(k+1)t[ tel que kest dans Z
f est continue sur [kt;(k+1)t[ (car ellle est est continue sur IR)
donc elle admet une borne sup (M) et une borne inf (m)
ce qui veut dire pour tout x de [kt;(k+1)t[ , m<f(x)<M (*)
d autre part f est periodique donc pour tout a deZ
f(x+at)=f(x) (**)
de (*) et (**) on déduit que
pour tout a de Z et pour tout x de[kt;(k+1)t[; m<f(x+at)<M
en posant X=x+at
on déduit pour tout XdeIR ; m<f(X)<M
c est aussi simple que ça

BSR oOaminebeOo !!!!
Ta Démo est un peu BROUILLON !!
Ton M et ton m dépendent en toute apparence de k.
A mon avis et c'est ce que j'ai sussuré +haut : il faut étudier f sur [0;T]
et invoquer la continuité de f dessus ce qui entraine l'existence de A et B tels que A<=f(x)<=B pout tout x dans [0;T] .
Maintenant , soit z quelconque dans IR alors il existe n entier relatif tel que : nT<=z<nT+T il suffit de prendre
n=E(z/T) qui convient !!!
Alors z=nT+zo avec zo=z-nT vérifie 0<=zo<T
f(z)=f(zo+nT)=f(zo) car f est T-périodique et enfin
a<=f(zo)<=B puisque zo est dans [0;T] d'ou :
A<=f(z)<=B pour tout z dans IR ;
C'est tout !!!
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

o0aminbe0o a écrit:

soit t la période de f
considérons l intervale [kt;(k+1)t[ tel que kest dans Z
f est continue sur [kt;(k+1)t[ (car ellle est est continue sur IR)
donc elle admet une borne sup (M) et une borne inf (m)
ce qui veut dire pour tout x de [kt;(k+1)t[ , m<f(x)<M (*)
d autre part f est periodique donc pour tout a deZ
f(x+at)=f(x) (**)
de (*) et (**) on déduit que
pour tout a de Z et pour tout x de[kt;(k+1)t[; m<f(x+at)<M
en posant X=x+at
on déduit pour tout XdeIR ; m<f(X)<M
c est aussi simple que ça

BSR oOaminebeOo !!!!
Ta Démo est un peu BROUILLON !!
Ton M et ton m dépendent en toute apparence de k.
A mon avis et c'est ce que j'ai sussuré +haut : il faut étudier f sur [0;T]
et invoquer la continuité de f dessus ce qui entraine l'existence de A et B tels que A<=f(x)<=B pout tout x dans [0;T] .
Maintenant , soit z quelconque dans IR alors il existe n entier relatif tel que : nT<=z<nT+T il suffit de prendre
n=E(z/T) qui convient !!!
Alors z=nT+zo avec zo=z-nT vérifie 0<=zo<T
f(z)=f(zo+nT)=f(zo) car f est T-périodique et enfin
a<=f(zo)<=B puisque zo est dans [0;T] d'ou :
A<=f(z)<=B pour tout z dans IR ;
C'est tout !!!
A+ LHASSANE

jai considéré que f etait fixé , mais bon , en effet , votre démonstration est plus structurée!