f+g périodique

Bonjour
Soient f et g deux fonctions périodiques de IR dans IR. Donner une CNS pour que f+g soit périodique

AA++

?

Oui tµtµ c'est ça mais comment?

C'est clair que c'est suffisant et sinon est un sous-groupe dense dans IR.


Une bonne année à tous !

la continuité de f et de g?

C'est clair si a/b =m/n est rationnel alors f+g périodique de période an=bm.
Inversement, soit c la période de f+g. Alors
(f+g)(x+ c)= (f+g)(x) <=> f(x+c)-f(x)=g(x)-g(x+c)=h(x).
Donc h admet deux périodes a et b. Il s'agit de montrer que c est un multiple de a et un multiple de b. Il suffit de montrer que h est nulle.
AA+

Bonjour
h est alors constante sur aZ+bZ. Si a/b n'est pas dans Q, alors puisque h est continue et aZ+bZ dense dans IR, h est constante dans IR.

pour tout n de IN, f(nc)-f(nc-c)=h(0). Alors
f(nc)-f((n-1)c)+f((n-1)c)-f((n-2)c)+....+ f(c)-f(0)=nh(0)=f(nc)-f(0).
Donc h(0)=0 car f étant continue périodique est bornéé.

AA++