problème N°41 de la semaine (07/08/2006-13/08/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour;
Solution postée

voici la solution d'Elhor abdelalai
Bonjour Samir ;
Notons A' , B' et C' les projetés orthogonaux de H respectivement sur les côtés
[B,C] , [C,A] et [A,B] du triangle équilatéral ABC.
Il est clair que: d(H,(AB))=HC' , d(H,(BC))=HA' et d(H,(CA))=HB'
Si on note a la mesure commune aux côtés du triangle équilatéral ABC on voit que:
S=Aire(ABC)=Aire(HBC)+Aire(HCA)+Aire(HAB)
=a.HA'/2 + a.HB'/2 + a.HC'/2
et donc que:
HA' + HB' + HC' = 2S/a = a.Racine(3)/2

qui est bien une constante indépendante de H intérieur à ABC. CQFD

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
Bonjour
Soient x,y,z les 3 distances en question.
L'aire S du triangle ABC est : S=(x.BC+y.CA+z.AB)/2=(x+y+z)AB/2=h.AB/2
Où h la hauteur du ABC. Donc x+y+z=h
A+

Bonjour

Solution postée
voici la solution de Lotfi

Bonjour

on a H UN POINT à L'INT2RIEUR DU TRIANGLE et H1,H2,H3 des projections
orthogonal de H sur [AB] ,[BC],[AC].
S(XYZ)=surface du triangle XYZ.

On a:

S(ABC)=S(HAB)+S(HBC)+S(HAC).

tel que: S(ABC)=[sin(60°).AB.BC]/2.
ABC triangle équilateral donc: AB=BC=AC.

S(ABC)=rac(3).AB²/4.
S(HAB)+S(HBC)+S(HAC)=[HH1.AB/2]+[HH2.BC/2]+[HH3.AC]/2.
=(HH1+HH2+HH3).AB/2.

alors: rac(3).AB²/4=(HH1+HH2+HH3).AB/2.

HH1+HH2+HH3 est la somme des distances de H aux cotés du triangle.

HH1+HH2+HH3=rac(3)AB/2.

Donc cette somme est constante toujours quelques soit S à l'interieur du
triangle elle est toujours égal à rac(3)AB/2.

Merci

c est quoi constante

en arabe sè ثا بتة[/b]

ok merci

de rien meriem