Double inégalité.

Soient a, b, c > 0.
Montrer que :

la convexité de t -->t^3 sur IR+ donne :

((a+b+c)/3)^3 =< (a^3+b^3+c^3)/3
<==> 3 (a+b+c)^3/27=< (a^3+b^3+c^3)
<==> (a+b+c)^3/24 - (a+b+c)^3/27 =< (a^3+b^3+c^3)/24

pour l'autre à suivre

(a+b+c)^3-( a^3+b^3+c^3)= 3a²b+3ab²+3a²c+3b²c+6abc+3ac²+3bc²

>= 24abc

<==> a²b+ab²+a²c+b²c+ac²+bc² >=6abc
<==> a²b+bc²-2abc + ab²+ac²-abc+a²c+b²c -2abc>=0
<==> b(a-c)²+ a(b-c)²+c(a-b)²>=0
d'où le résultat