double inégalité.

pour le coté droit:

posons x=1-a, y=1-b, z=1-c, donc (x,y,z)>=0 et x+y+z=2
alors 1+a= 2-x, 1+b=2-y,1+c=2-z;
donc l'inégalité devient :







on a : les identités classiques suivantes




alors l'inégalité devient:


posons p=x+y+z=2 , q=xy+yz+xz , r=xyz
si q<=1 , on aura :
donc le coté gauche <=-7xyz<= 0
si q>= 1 :
d'après schur ( 2ème degré) :


alors l'inégalité devient :



ce qui est vrai car:
q>= 1 et q<= p^2/3 = 4/3 <= 28/13
C.Q.F.D
pour le coté gauche sa doit etre facile , je posterai ma réponse plus tard

pour l'autre coté , voici la solution , meme si c'est trivial :

avec la substitution :

l'inégalité équivaut à : ce qui est trivial

jolie neutrino !!

merci

voici ma sollution
on va prouver la partie gauche :
sans perte de generalité on peut suposer que a>=b>=c et puisque a+b+c=1 donc
a>=1/3.
on a :
donc il suffit de prouver que :










ce qui est vrai
l' egalité à lieu si et seulement si (a,b,c)=(1,0,0)

pour la partie droite :
l inegalité est equivalente à :











ce qui est vrai puisque :


l egalité à lieu s a=b=c=1/3 ou (1.0.0) et toutes permutations cyclic !