Double inégalité

a,b,c > 0 et a+b+c=1.Prouvez que:



crée par moi

rachid18 a écrit:

a,b,c > 0 et a+b+c=1.Prouvez que:



crée par moi

2+b-a = 2(a+b+c)+b-a = a+3b+2c= a+b+b+b+c+c >= 6( ab^3c^2)^(1/6)
or : 1/(ab^3c^2)^(1/6) = (c*a^2)^(1/6) / (abc)^(1/2)
et (c*a²)^(1/6) = ( c*a*a*(1/3)*1/3 * 1/3 )^(1/6) * 3^(1/2) <= 1/6 *( c+a+a +1/3 +1/3 +1/3 ) * 3^(1/2) ( am-gm ) puis on fais une somme cyclique et la partie droite sera réglée ( sauf erreur)

je réfléchis pr l'autre..

ona : 2+b-a = 2(a+b+c)+b-a= a +2c+3b = (a+2b ) +(b+2c)
2+c-b = 2(a+b+c) +c-b = b+2a+3c = (b+2c) + (c+2a)
2+a-c =2(a+b+c)+a-c = c+2b+3a = (c+2a) +(a+2b)

d'après Iran 96: pr ts x,y,z>=0
sum ( 1/(x+y)² ) >= 9/4*sum (xy)

donc : sum( 1/(2+b-a)² ) = sum ( 1/((a+2b)+(b+2c))² ) >= 9/4*( sum( (a+2b)(b+2c)) = 9/4*( 3(ab+ac+bc)+1) = 9/( 12(ab+ac+bc) +8 ) CQFD

neutrino a écrit:

rachid18 a écrit:

a,b,c > 0 et a+b+c=1.Prouvez que:



crée par moi

2+b-a = 2(a+b+c)+b-a = a+3b+2c= a+b+b+b+c+c >= 6( ab^3c^2)^(1/6)
or : 1/(ab^3c^2)^(1/6) = (c*a^2)^(1/6) / (abc)^(1/2)
et (c*a²)^(1/6) = ( c*a*a*(1/3)*1/3 * 1/3 )^(1/6) * 3^(1/2) <= 1/6 *( c+a+a +1/3 +1/3 +1/3 ) * 3^(1/2) ( am-gm ) puis on fais une somme cyclique et la partie droite sera réglée ( sauf erreur)
je réfléchis pr l'autre..

C'est 1/(2+b-a)² et non pas 1/(2+b-a) !!!

oui dsl je vé rectifier