Une intégrale pathologique !!

BSR à Toutes et Tous !!

Voilà un petit exo tout mignon destiné aux Sup !! Il est pathologique car j'aime bien sortir des sentiers battus et d'un certain classicisme ennuyant !
Bien sûr , j'en connais la solution et c'est à vous de me faire des propositions ....

Soit x dans ]0;1[ , on peut écrire x={a/10}+{b/100}+c avec a et b entiers compris entre 0 et 9 et c dans
[0;1/100[.
On définit une fonction f de [0;1] dans [0;1] de la manière suivante :
f(x)={b/10}+{a/100}+c
puis f(0)=0 et f(1)=1 .
Calculer INT{ t=0 à 1 ; f(t).dt }

salut Mr LHASSANE !!!
je crois que l'integrale de Riemaan a pas de sens ici en effet on peut utiliser l'integrale de Lebesgue.
et je crois pas que les sup-spé ont etudié l'integrale de lebesgue.
je donne la réponse aprés les tentations de les autres.
et merci
____________________________________________________________
lahoucine

mathema a écrit:

salut Mr LHASSANE !!!
je crois que l'integrale de Riemaan a pas de sens ici en effet on peut utiliser l'integrale de Lebesgue.
et je crois pas que les sup-spé ont etudié l'integrale de lebesgue.
je donne la réponse aprés les tentations de les autres.
et merci
____________________________________________________________
lahoucine

BJR mathema !!
Un petit tuyau : la fonction f est affine par morceaux alors aucun inconvénient ....

Soit x dans ]0;1[ , a=[10x] et b=[100x]-10[10x]

A=INT{ t=0 à 1 ; [10t] }= INT{ t=0 à 1/10 ; [10t] }+INT{ t=1/10 à 2/10 ; [10t] }+...+INT{ t=9/10 à 1 ; [10t] }=
(0+1+...+9)/10=4.5

de même B=INT{ t=0 à 1 ; [100t] }=( 0+1+...+99)/100=49.50

Alors l'intégrale de f en question est une combinaion linéaire de A et B

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR mathema !!
Un petit tuyau : la fonction f est affine par morceaux alors aucun inconvénient ....

salut Mr LHASSANE
DSL j'ai pas bien lire l'enonce meme que l'integrale de lebesgue est plus génerale mais pas de probleme.
et merci
___________________________________________________________
lahoucine

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit x dans ]0;1[ , a=[10x] et b=[100x]-10[10x]
A=INT{ t=0 à 1 ; [10t] }= INT{ t=0 à 1/10 ; [10t] }+INT{ t=1/10 à 2/10 ; [10t] }+...+INT{ t=9/10 à 1 ; [10t] }=
0+1+...+9=45
de même B=INT{ t=0 à 1 ; [100t] }= 0+1+...+99=4950
Alors l'intégrale de f en question est une combinaion linéaire de A et B

BSR Mr A.ATTIOUI !!
Merci pour votre contribution .
J'ai parfaitement compris votre démarche !!
La valeur de l’intégrale J demandée est 0.5
Je relève au passage que A devrait être égal à 4.5 car le pas vaut 1/10
De même B serait égal à 49.50 toujours car le pas cette fois vaut 1/100
Alors selon votre idée J =(1/10).{B-10.A}+(1/100).A+.....
=(1/10).{49.5-45}+(1/100).(4.5)+..... =0.45 +0.045+.....=0.495 + ????
Ou est donc passé le 0.005 ???
Je crois que vous avez oublié l’intégrale sur [0;1] de c(t) !!??

PS : J'attends la réaction des Sup pour proposer une Solution . Cet exo est tiré du Forum MathsPrépa de J.M. FERRARD

Oeil_de_Lynx a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit x dans ]0;1[ , a=[10x] et b=[100x]-10[10x]
A=INT{ t=0 à 1 ; [10t] }= INT{ t=0 à 1/10 ; [10t] }+INT{ t=1/10 à 2/10 ; [10t] }+...+INT{ t=9/10 à 1 ; [10t] }=
0+1+...+9=45
de même B=INT{ t=0 à 1 ; [100t] }= 0+1+...+99=4950
Alors l'intégrale de f en question est une combinaion linéaire de A et B

BSR Mr A.ATTIOUI !!
Merci pour votre contribution .
J'ai parfaitement compris votre démarche !!
La valeur de l’intégrale J demandée est 0.5
Je relève au passage que A devrait être égal à 4.5 car le pas vaut 1/10
De même B serait égal à 49.50 toujours car le pas cette fois vaut 1/100
Alors selon votre idée J =(1/10).{B-10.A}+(1/100).A+.....
=(1/10).{49.5-45}+(1/100).(4.5)+..... =0.45 +0.045+.....=0.495 + ????
Ou est donc passé le 0.005 ???
Je crois que vous avez oublié l’intégrale sur [0;1] de c(t) !!??

PS : J'attends la réaction des Sup pour proposer une Solution . Cet exo est tiré du Forum MathsPrépa de J.M. FERRARD

Bonsoir Mr Oeil_de_Lynx et merci pour la rectification. Je suis DSL de ne pas donner l'attention necessaire pour le calcul j'ai jugé que c'est l'idée qui est plus importante mais surtout je m'adresse aux jeunes que le calcul est aussi important pour finaliser un résultat.

En ce qui concerne c je ne l'ai pas oublié car c(x)= x- a/10-b/100

salut à tous !!!
oui c'est vraie ça et je crois que l'idée improtant c'est d'écrire f(x) a fonction de x c'est a dire de montrer que:
f(x)= x + {1/100}*{9.E(100x) - 109.E(10x)}.
il est clair que f est une fonction affine par morceaux c'est a dire continue par morceaux d'ou on peut integre sur [0,1].
_________________________________________________________
lahoucine

BSR à Toutes et Tous !!
Meileurs Voeux 1430/2009 !!
Je reviens sur cet exo que j'ai proposé l' An Dernier !!

La fonction f n’est pas en escaliers mais elle est AFFINE par MORCEAUX !!
En effet , soit X un décimal de la forme X={a/10}+{b/100} avec a et b entiers compris entre 0 et 9 que l’on écrit souvent X=0,ab
Choisissons un pas h=1/100 .
Pour tout t dans [X;X+h[ alors t=X+c avec c dans [0 ;h[, on peut écrire :
f(t)={b/10}+{a/100}+c=X+c+{b/10}+{a/100}-{a/10}-{b/100}
=t+{9/100}.(b-a)
C’est donc là une écriture qui traduit la relation affine entre t et f(t) sur [X;X+h[
Il est facile de calculer J(X)=INT{t=X à X+h ; f(t).dt}, c’est un petit Trapèze Rectangle de haureur h et de bases f(X)={b/10}+{a/100} et f{(X+h)-}=f(X)+{1/100} donc :
INT{t=X à X+h ; f(t).dt}={1/200}.{(a/50)+(b/5)+(1/100)}
L’intégrale demandée sera la somme lorsque X varie de 0 à 0.99 de J(X)
Soit (1/200).SIGMA {a=0 à 9 ; SIGMA { b=0 à 9 ; (a/50)+(b/5)+(1/100)}}
=(1/200).SIGMA {a=0 à 9 ; (a/5)+(1/10)+9}=(1/200).{9+91}=1/2

Noter aussi que les points de la forme X=0,ab avec a et b entiers 0<=a<=9 et 0<=1<=9 et ab<>0 sont des points de discontinuité de la fonction f , ils sont en nombre fini ( 99 en tout ).

BSR à Toutes et Tous !!

Et maintenant , voilà la Solution un tantinet rigolotte !!!
En fait le rôle de la fonction est d'inverser les deux premières décimales du nombre x .
Par exemple f(0,45987.....)=0.54987....
On vérifie une relation fonctionnelle assez intéressante ici , à savoir : f(x)+f(1-x)=1 sur [0;1] sauf aux points de discontinuités de f ( qui sont en nombre fini égal à 99 )
Par changement de variable , on établit que :
INT{ x=0 à 1 ; f(x).dx }= INT{x=0 à 1 ; f(1-x).dx }
On en déduit que 2.INT{x=0 à 1 ; f(x).dx =INT{ x=0 à 1 ; 1.dx }
et de là INT{ x=0 à 1 ; f(x).dx }=1/2