equation fonctionnelle dans IR+

f(x²+f(y))=y+f(x)² E
pour x=0 on a f(f(y))=y+f(0)²=y+a avec a=f(0)²
f(f(y))=y+a
on remplace y par f(y) ds E
f(x²+y+a)=f(y)+f(x)²
f(f(x²+y+a))=f(f(y)+f(x)²)
x²+y+a+a=y+f(f(x))²
x²+y+2a=y+(x+a)²
on developpe on obtien a=0
d ou f(f(x))=x et f(x²)=f(x)²
ainsi f(x²+y)=f(y)+f(x)² d ou f est strictemnt croissante
supposons qu il existe x tel que f(x)#x
si f(x)>x alors x=ff(x)>f(x) absurde
si f(x)<x alors x=ff(x)<f(x) absurde
conclusion f(x)=x pour tt x de R