I THINK THAT IT'S A NICE INEQUALITY

soit (an) une suite de réels positifs vérifiant: pour tout n>=1

démontrer que pour tout n>=1:

Bonjour ;

Une idée :

Je pose : A0=0 et pour j£IN* , Aj=Sumi=1..j(ai-1/2Vi) , le symbole V désignant la racine carrée

on a alors pour tout j£IN* ,

Aj >= Vj - Sumi=1..j(1/2Vi) >= Vj - (1/2)Sumi=1..j(int[i,i+1]dt/Vt) = Vj - (1/2)(int[1,j+1]dt/Vt) = Vj - V(j+1) + 1 > 0

pour tout entier n>=2 on peut alors écrire ,

Sumj=1..n(aj²-1/4j) = Sumj=1..n(aj-1/2Vj)(aj+1/2Vj) = Sumj=1..n(aj-1/2Vj)(aj-1/2Vj+1/Vj) >= Sumj=1..n(aj-1/2Vj)(1/Vj)

inégalité qui s'écrit aussi , Sumj=1..n(aj²-1/4j) >= Sumj=1..n(Aj-Aj-1)(1/Vj)

ou encore , Sumj=1..n(aj²-1/4j) >= Sumj=1..n Aj/Vj - Sumj=0..n-1 Aj/V(j+1) = An/Vn + Sumj=1..n-1 Aj(1/Vj-1/V(j+1))

d'où pour tout entier n>=2 , Sumj=1..n(aj²-1/4j) >= An/Vn > 0

l'inégalité demandée étant triviale pour n=1 on a le résultat souhaité sauf erreur bien entendu