modeste inégalité

soient x , y , z trois réels > 0 tels que : 2x + 3y + 5z = 1

montrer que: xy² + yz² + zx² < 107/900.

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c facile
on a 2x + 3y + 5z = 1
et x y et z sont strictement positifs alors
alors 2x<1 et 3y<1 et 5z<1
d'où x<1/2 et y<1/3 et z<1/5
donc xy²<1/2*1/3*1/3 xy²<1/18
yz²<1/3*1/5*1/5 xz²<1/75
zx²<1/5*1/2*1/2 zx²<1/20
alors xy² + yz² + zx² <1/18+1/75+1/20
1/18+1/75+1/20=((75x20)+(18x20)+(75x18))/18x75x20
1/18+1/75+1/20=3210/27000=107/900
donc xy² + yz² + zx² < 107/900.

oui bravo

j'ai bien dit une modeste inégalité

.

loll elle largement stricte bravoooo majdouline.

ok elle est modeste , mais what about this :
avec les meme conditions :
xy² + yz² + zx² <= 1/81 ; égalité avec (1/3,1/9,0)

slt Anas

posons : x=a/2 , y=b/3 , c=z/5

on a : a+b+c=1

et l inegalité devient :

S=1500.ab²+360.bc²+1350.ca²=<1000/3

on a :

S=<1500(ab²+bc²+ca²)=<1500*4/27=2000/9=<1000/3

ps : ab²+bc²+ca²=<4/27 vien de celle la : https://mathsmaroc.jeun.fr/inegalites-f2/-t11752.htm

(sauf erreur biensur)

petite remarque :
pour ta demo neutrino :tu as dis que l'égalitée avec (1/3,1/9,0) ce qui est impossible , car x,y et z > 0
ils sont strictement positifs
merci

red_mot a écrit:

petite remarque :
pour ta demo neutrino :tu as dis que l'égalitée avec (1/3,1/9,0) ce qui est impossible , car x,y et z > 0
ils sont strictement positifs
merci

j'ai cru que houssa a mentionné que x,y,z>=0 , mais cce n'est pas important si x,y,z>0 l'ing sera stricte , sinn on aura l'égalité

pas ta remarque pas mal