exercice

salut
voila un tout petit exercice pour vous amateurs de maths
x et y sont réels vérifiant 1=< x^2 - xy + y^2 =< 2
1 - Prouvez que : 2/9 =< x^4 + y^4 =< 8
2- montrez que pour tout n de IN tel que n>= 3 :
x ^2n + y ^2n >= 2/3^2n
bonne chance et a tres bientot

Dèja posté https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/entrezzzz-t11623.htm

merci
j'ai pas vu
a bientot

deja posé
exo
on a x+y=1
prouver que (1+1/x)(1+1/y)>=9

fiiiiiiiiiiiiiiiiiin
le lien

fiiiiiiiiiiiiiiiiiin kayne

on a xy=<(x+y)²/4 <=> 1/xy >=4
(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+2/xy>=1+8=9

merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii beaucoup mon frère

fin l9iti xy=<(x+y)²/4

mais je crois que c clair zouhi
(x-y)²≥0
alors x²-2xy+y²≥0
alors x²+2xy-4xy+y²≥0
d'où x²+2xy+y²-4xy≥0
alors (x+y)²-4xy≥0
d'où (x+y)²≥4xy
d'où (x+y)²/4≥xy
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P.S.pour cet exo on l'avait dans notre olympiade de l'annee derniere de la 4eme....

merciiiiiiiii mon frere

exo1
on a x,y,z>0
prouver que (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9
exo2
on a 1<x²-xy+y²<2
prouver que 2/9<x²+²+y²+²<8
4أوسx

salut zouhir
les deux exos sont deja postés
le premier
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥9
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on developpe
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=x/x+x/y+x/z+y/x+x/x+x/z+z/+x+z/y+z/z
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1+x/y+y/x+1+z/x+x/z+1+y/z+z/y
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)
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on sait que x/y+y/x≥2Vx/y*y/x (identité remarquable)
alors x/y+y/x≥2V1
d'où x/y+y/x≥2
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de la meme façon on demontre que
z/x+x/z≥2
et que
y/z+z/y≥2
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en sommant
(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)≥2+2+2
3+(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)≥3+2+2+2
alors
3+(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)≥9
d'où
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9
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le deuxième voici le lien
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/entrezzzz-t11623.htm

merciiiiiiiiiiiiiiiii think's gracias