Bonjour n.naoufal
Très joli problème!
Considérons les deux ensembles A = ]0,racine(a)[ et B=]racine(A),+inf[.
Considérons que f(x) = h(x) sur B
L'équation à résoudre peut s'écrire f(x) = x/f'(a/x). Donc, pour x dans A, a/x est dans B et donc f(x)=x/h'(a/x)
Sur A U B = R+* - {racine(a)}, la fonction f(x) vaut donc :
pour x dans A, f(x) = x/h'(a/x) et donc f'(x)=(h'(a/x) + (a/x)h''(a/x))/(h'(a/x))^2
pour x dans B, f(x) = h(x)
La propriété f'(a/x)=x/f(x) est vraie par construction pour tout x de A
Pour qu'elle soit vraie sur B, on a :
x dans B, donc a/x dans A, donc f'(a/x)=(h'(x) + xh''(x))/(h'(x))^2 et f(x)= h(x). Il faut donc :
(h'(x) + xh''(x))/(h'(x))^2 = x / h(x)
h(x) doit donc vérifier, pour tout x de B, l'équation différentielle (y' + xy")/(y')^2 = x / y, ou encore :
1/x + y"/y' = y'/y, soit u + ln(y') = ln(y), soit y'/ y = b, soit y = c x^b
On a donc nécessairement h(x) = c x^b et donc :
pour x dans B : f(x) = h(x) = c x^b
pour x dans A : f(x) = x/h'(a/x) = x^b /(bca^(b-1))
La continuité et la dérivabilité en racine(A) imposent alors c=1/(bca^(b-1)), soit bc^2a^(b-1)=1
Nous avons donc une forme nécessaire pour f(x) : f(x)=b^(-1/2)a^((1-b)/2) x^b avec b >0 quelconque
Le report dans l'équation initiale montre que cette forme nécessaire est suffisante.
Toutes les solutions à l'équation initiale sont donc :
f(x)=b^(-1/2)a^((1-b)/2) x^b avec b > 0 quelconque
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