Bonjour à tous.
Bon, un peu lourd, peut-être :
L'équation : a*sqrt(f(x)=f(1-a/x) = f(h(x)), avec h(x)=1 - a/x
Posons g(x)=f(x)/a^2 (possible puisque a > 0) et on trouve sqrt(g(x))=g(h(x)), ou encore g(x)=(g(h(x))))^2
Soit encore g(x)=(g(h^[n](x)))^(2^n) (h^[n](x) designe la composée n fois de h(x))
Intéressons-nous donc aux suites h^[n](x0), pour n dans Z pour un x0 donné. h(x) étant une fonction homothétique, h^[n](x) est facile à exprimer (c'est une fonction homothétique aussi).
Premier cas : a= 1
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On a alors h(h(h(x)))= x pour tout x différent de 0 et 1
On a alors g(x)=(g(x))^8 pour tout x différent de 1 et 0 et donc g(x)=0 ou g(x) = 1
Dès lors, on peut prendre n'importe quelle valeur u pour g(0), prendre g(1)=u^2 et, pour chaque triplet {x, 1 - 1/X, 1/(1-x)} prendre la même valeur 0 ou 1
Si on prend comme représentant du triplet son plus grand élément, on peut aussi considérer n'importe quelle fonction t(x) de R dans {0, 1} et écrire g(x)=t(max(x, 1 - 1/x, 1/(1-x)))
D'où la solution générale pour a = 1
Soit t(x) n'importe quelle fonction de R dans {0, 1}
Soit u n'importe quel réel :
f(0)=u
f(1)=u^2
f(x)=t(max(x, 1 - 1/x, 1/(1-x))) pour tout x de R-{0,1}
Deuxième cas : a>O différent de 1
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On peut alors montrer que la fonction h(x) ne possède pas d'entier p tel que h^[p](x)=x pour tout x autre que 1 et ses successeurs.
En revanche, si a<= 1/4 il existe des racines réelles (éventuellement confondues) r1 et r2 à l'équation x = 1 - a/x et on a nécessairement g(r1)=0 ou 1 et g(r2)=0 ou 1
Tout réel x0 autre que r1 et r2 se trouve alors dans un des trois cas suivants
cas 1) : la suite h^[n](x0) est définie pour tout n et ne présente aucun cycle
Cas 2) : la suite h^[n](x0) est définie pour tout n >=0 et il existe p<=0 tel que h^[p](x0)=1
Comme 1 n'a pas d'antécédent par h, la suite n'est donc définie que pour n>=p
Cas 3) : la suite h^[n](x0) est définie pour tout n <=0 et il existe p>=0 tel que h^[p](x0)=0
Comme 0 n'a pas de successeir par h, la suite n'est donc définie que pour n<=p
Dans chacun de ces cas, il suffit de choisir arbitrairement un nombre x1 de l'ensemble {h^[n](x0)}, de choisir arbitrairement une valeur pour g(x1) et d'en déduire les autres valeurs.
D'où la solution générale pour le cas a différent de 1 :
Appelons A(x) le sous-ensemble dénombrable de R qui associe à tout réel x différent de r1 et r2 l'ensemble {h^[n](x)} selon les cas 1, 2 ou 3 ci dessus.
Appelons r(x) une fonction de choix qui associe à chaque x différent de r1 et r2 un représentant de A(x) (tous les x ayant le même A(x) ont le même r(x) bien sûr)
Appelons n(x) la fonction qui associe à tout réel x différent de r1 et r2 l'entier relatif unique tel que x = h^[n(x)](r(x)).
Soit u(x) une fonction quelconque de R dans R
Alors :
f(r1) = 0 ou a^2 (si r1 existe)
f(r2) = 0 ou a^2 (si r2 différent de r1 existe)
f(x) = a^2 (u(r(x))^(2^(-n(x))) pour tout x différent de r1 et r2.
Oufffff ...
Bien sûr, je peux m'être trompé.
Bien sûr aussi, je suis passé un peu vite sur certaines déclarations (par exemple pas de cycles autre que r1 et r2 dans le cas a positif différent de 1). Je peux préciser cela en répondant à toutes questions que vous vous poseriez.
J'ai un léger doute sur la nécessité de l'axiome du choix pour la fonction r(x) mais je ne crois pas.
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!!!
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