Olympiade de casablance le 10/04/2009

Et voilà, les olympiades que nous avons passé hier, Grande Casablanca Délégation de Aïn Chouk, (la duré, 2h30min)
et voilà, les olympiades que nous avons passé hier,
Exo 1: (4 pts)
a,b,c>0, prouver que:
a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)>=6abc
Exo 2: (3 pts)
soit x,y deux réels tels que, |x|=<1 et |y|=<1,
prouver que, 5/2=<x²+y²+x+y+3=<7

le premier c facile
a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b
a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)=(a²b+bc²)+(a²c+b²c)+(c²a+ab²)
--------------------------------------------------------------------------
a²b+bc²≥2Va²b.bc²=Va²b²c² (identité remarquable)
a²b+bc²≥2abc
de la meme façon on demontre que
a²c+b²c≥2abc
et aussi que
c²a+ab²≥2abc
en sommant on trouve que
(a²b+bc²)+(a²c+b²c)+(c²a+ab²)≥6abc
d'où a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)>=6abc

pour le deusieme je crois qu'il y a une faute
|x|=<1 et |y|=<1,
on doit montrer que x²+y²+x+y+3=<4
posons x=1 y=1
alors x²+y²+x+y+3=1+1+1+1+3=7
or 7≥4

La premier je l'ai fait en 40s, il suffit de savoir que pour tout a et b réel de même signe : a/b + b/a >= 2
Puis on fait la somme, et on multiplie par abc , et le résultat s'ensuit !

Pour le deux il y a une erreur, si je remplace x et y par 1, l'inégalité n'est pas vérifiée !

Pour le 3, facile, il suffit de poser P(x) = ax²+bx+c et P(x-1)=a'(x-1)²+b'(x-1)+c', et de calculer P(x)-P(x-1), procéder par système d'identification et on trouve qu'il n'admet pas de solutions.

Pour le 4, on passe le 6x de l'autre coté, en élève au carré, puis on develloppe tout, on constate que 2 est une racine évidente, on factorise par x-2, on tombe sur un polynome de second degrés, les autres solutions sont déduites facilement qui ne sont que 5 et 10.

Pour la géométrie , un autre jour

pour l'exo2, il n'y a aucune erreur, pour l'exo 3, c'est P(1-x) et pas P(x-1), pourquoi tu as changé les coefficent de P(x-1) a ceux de P(x), ce sont les même puisque c'est le même polynôme

pour le troisieme c facile
supposons que
p( x )=ax²+bx+c
on a P(x)+P(1-x)=x²+x+1
ax²+bx+c+a(1-x)²+b(1-x)+c=x²+x+1
ax²+bx+c+ax²-2ax+a+b-bx+c=x²+x+1
2ax²-2ax+a+b+2c=x²+x+1
takouno 7oudoudiatan ida wafa9at ida kanat jami3o mo3amilaatihima motassawiya
donc 2a=1 et -2a=1 et a+b+2c=1
donc a=1/2 et a=-1/2 et a+b+2c=1
a a deux valeurs 1/2et -1/2 ce qui est impossible alors il n'existe pas un plynome du deusieme degres tel que P(x)+P(1-x)=x²+x+1

pour le quatrieme
(x+10)V(x-1)-6x=0
alors
(x+10)²(x-1)=36x²
(x²+20x+100)(x-1)=36x²
x^3-x²+20x²-20x+100x-100=36x²
x^3-17x²+80x-100=0
x^3-2x²-15x²+30x+50x-100=0
x²(x-2)-15x(x-2)+50(x-2)=0
(x-2)(x²-15x+50)=0
prenons f(x )=x²-15x+50
resoudre dans IR f(x )=0
x²-15x+50=0
delta=15²-4*50=25=5²
x1=(15-5)/2 et x2=(15+5)/2
alors x1=5 et x2=10
S={2;5;10}
donc
x²-15x+50=(x-5)(x-10)
-----------------------------------------------------
on a (x-2)(x²-15x+50)=0
alors (x-2)(x-5)(x-10)=0
d'où
x=2 ou x=5 ou x=1
S={2;5;10}

mathsmaster a écrit:

pour l'exo2, il n'y a aucune erreur

mais nn y a surement une erreur
on a |x|=<1 et |y|=<1
alors
-1≤x≤1 et -1 ≤y ≤1
prenons x=y=1/2
x²+y²+x+y+3=1/4+1/4+1/2+1/2+3=1/2+4
on sait que 1/2+4≥4
donc danc ce cas x²+y²+x+y+3≥4
alors cela n'est pas correct pour tout x et y de IR tel que -1≤x≤1 et -1 ≤y ≤1
voici un contre exemple.. et .il y en a encore d'autres

majdouline a écrit:

mathsmaster a écrit:

pour l'exo2, il n'y a aucune erreur

mais nn y a surement une erreur
on a |x|=<1 et |y|=<1
alors
-1≤x≤1 et -1 ≤y ≤1
prenons x=y=1/2
x²+y²+x+y+3=1/4+1/4+1/2+1/2+3=1/2+4
on sait que 1/2+4≥4
donc danc ce cas x²+y²+x+y+3≥4
alors cela n'est pas correct pour tout x et y de IR tel que -1≤x≤1 et -1 ≤y ≤1
voici un contre exemple.. et .il y en a encore d'autres

je suis parfaitement d'accord avec vous majdo

voila un exo
demontrer que :
(1+1/a)(1+1/b)>=9
7ayto a+b=1

hunter, ton exercice est incomplet, quel est la condition sur a ou b ?
Si je fais a=1=b , l'inégalité est fausse.

EvaristeGalois a écrit:

hunter, ton exercice est incomplet, quel est la condition sur a ou b ?
Si je fais a=1=b , l'inégalité est fausse.

ohh
merci a+b=1

hunter a écrit:

voila un exo
demontrer que :
(1+1/a)(1+1/b)>=9
7ayto a+b=1

C'est tres facile
(1+1/a)(1+1/b)=1+2/ab
a+b>=2Vab
1>=2Vab
1>=4ab
2/ab>=8
2/ab+1>=9

solution :

On a a+b=1 <=> a et b inférieur à 1, donc 4ab est inférieur à 1 aussi.

4ab=<1
8ab=<1+1
9ab=< ab+2 or 1=1+b
9ab=< ab + a+b +1
9=< le résultat

ah dsl j pas vu cette faute de frape c'est 7 a la place de 4 je vais l'éditer je suis dsl -_-"

Alors la solution pour lexo 2:

on doi montrer que
5/2=<x²+y²+x+y+3=<7
5/2=<x²x+1/4+y²+y+1/4+5/2=<7
5/2=<(x+1/2)²+(y+1/2)²+5/2=<7
on a -1<=x<=1 d'ou 0<=(x+1/2)²<=9/4
-1<=y<=1 d'ou 0<=(y+1/2)²<=9/4
la somme
0<=(x+1/2)²+(y+1/2)²<=9/2
5/2<=(x+1/2)²+(y+1/2)²+5/2<=7

P.S: hunter tu dois mentionner que a et b sont strictement positifs
pcq si l'un est negatif l'inegalité n'est plus correcte
je donne un exemple
a+b=1
a=-1 et b=2
1+1/a=1-1=0
alors
(1+1/a)(b+1/b)=0
on sait que 0<9 alors dans ce cas (1+1/a)(b+1/b)<9)
-------------------------------------------
l'inegalité est tjs correcte seulement si a et b sont strictement positifs

majdouline a écrit:

P.S: hunter tu dois mentionner que a et b sont strictement positifs
pcq si l'un est negatif l'inegalité n'est plus correcte
je donne un exemple
a+b=1
a=-1 et b=2
1+1/a=1-1=0
alors
(1+1/a)(b+1/b)=0
on sait que 0<9 alors dans ce cas (1+1/a)(b+1/b)<9)
-------------------------------------------
l'inegalité est tjs correcte seulement si a et b sont strictement positifs

dsl

voila un autre
a+b=1 et a>0 et b>0
demontrer que
(1+1/a²)(1+1/b²)>=25

pour l'exo 2 g une autre solution
x²+y²+x+y+3-7=x²+y²+x+y-4
on a |x|=<1 et |y|=<1
alors x=<1 et y=<1
et on a -1=<x=<1 et -1=<y=<1
alors x²=<1 et y²=<1
en sommant x²+y²+x+y=<4
d'où x²+y²+x+y-4=<0
alors x²+y²+x+y+3-7=<0
d'où
x²+y²+x+y+3=<4 (1)
-------------------------------------------
2(x²+y²+x+y+3)-5=2x²+2y²+2x+2y+1
2(x²+y²+x+y+3)-5=2x²+2x+1/2 + 2y²+2y+1/2
2(x²+y²+x+y+3)-5=(V2x+1/V2)²+(V2y+1/V2)²
alors 2(x²+y²+x+y+3)-5≥0
donc 2(x²+y²+x+y+3)≥5
d'où 5/2<=x²+y²+x+y+3 (2)
-------------------------------------
de (1) et (2) on a 5/2=<x²+y²+x+y+3=<7

pour ton exo hunter ...deja posté
voici le lien
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/logique-t12499.htm

hunter a écrit:

voila un autre
a+b=1 et a>0 et b>0
demontrer que
(1+1/a²)(1+1/b²)>=25

on doi montrer que (1+1/a²)(1+1/b²)>=25
1+1/b²+1/a²+1/a²b²>=25


a+b>=2Vab <=> 1>=2Vab 1/ab>=4
(1/a-1/b)²>=0 <=> 1/a²+1/b²>=2/ab <=> 1/a²+1/b²>=8 (1)
on a 1/ab>=4 <=> 1/a²b²>=16 (2)
de (1) et (2) on conclut que 1+1/b²+1/a²+1/a²b²>=25
d'ou (1+1/a²)(1+1/b²)>=25

Exo 1 :

a²(b+c) + b²(a+c) + c²(b+a) >= 6abc(a+b+c)
(a+b+c) > 0 et 6abc >= 0
6abc(a+b+c) >= 6abc
alors
a²(b+c) + b²(a+c) + c²(b+a) >= 6abc

Exo 2 :

-1 =< x =< 1 et -1 =< y =< 1

x²+y²+x+y+3 = x(x+1)+y(y+1) + 3
----------------------------------------------------------------------------
0 =<(x+1)=< 2 l 0 =<(y+1)=< 2
0 =<x(x+1)=<2 l 0 =<y(y+1)=< 2

0 =<x(x+1) + y(y+1) =< 4
3 =<x(x+1) + y(y+1) +3 =< 7

5/2 < 3

5/2 =<x(x+1) + y(y+1) + 3 =< 7

5/2 =< x²+y²+x+y+3 =< 7 (le résultat voulu )

pour l inego voici ma solution:
elle equivau a:
c(a²+b²)+b(a²+c²)+a(b²+c²)>=6abc mnt c facile de voir que:
c(a²+b²)>=2abc de meme pour les autres.