Complexes.

Voici un exercice sur les nombres complexes que j'ai eu en terminale.
Résoudre dans C : 1-z²+z^4 - z^6 +z^8 -z^10+z^12 - z^14 =0
On donnera la forme algébrique et trigonométrique des solutions.

J'adore les complexes , voici la solution :

On reconnait facilement une suite géométrique de raison -z² et de premier terme 1.

D'après la formule de la somme d'une suite géométrique, on obtient:

1-z^16=0 soit z^16=-1 Les solutions sont les racines 16-ième de l'unité.

On a |z^16|=|1| <=> |z|=1 soit z=e^it

Donc e^i16t=e^ik2pi soit 16t=k2pi
Soit t= k2pi/16 avec k variant de 0 à 15.

Il y a 16 solutions, ne me demande pas de te les écrire. ^^

Salut EvaristeGalois !!

C'est un tout petit pêché : la rapidité !!!

En fait ce sont les racines 16ième de 1 MAIS il faut EXCLURE les DEUX racines de l'équation 1+z^2=0
parceque :
1-z²+z^4 - z^6 +z^8 -z^10+z^12 - z^14={1- z^16}/{1+z^2}

Donc les solutions sont en nombre de QUATORZE et sont :
Zk=exp{i.k.Pi/8} avec k compris entre 0 et 15 et k différent de 4 et 12 .

Allé Bonne Journée !!

Oui en effet, j'ai pas mentionner les valeurs interdites !

Bon ca reste un exo classique, je l'ai fait lors de mon entrainement au concours général (pas le même, mais la même idée !)

Deja poste
https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/exo-complexes-t7464.htm