problème N°48 de la semaine (25/09/2006-01/10/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

salut
solution postée
voici la solution de fermat
S=[p/q]+[2p/q].....[(q-1)p/q]
S=[p-p/q]+[p-2p/q]+[p-3p/q]....[p-(q-1)p/q]
S=(q-1)p+[-p/q]+[-2p/q]+[-3p/q]........[-(q-1)p/q]
par la relation [-x]=-[x]-1 ,x n 'est pas entier
on a S=(q-1)p-S-(q-1)
donc 2S=(q-1)(p-1)
d'ou S=(q-1)(p-1)/2
fermat

Reponse postée
voici la solution de rockabdel
Sigma k=1, q-1 [kp/q] = [p/q] +[2p/q] + [3p/q] + ……..+ [(q-1)p/q] pour q-1
terme
On a :
[(q-1)p/q]=[p-p/q]=[-p/q]+p
De meme pour q-2 , q-3, q-4,… etc jusqua arriver a la moitier des termes
c'est-à-dire obtenir :

Sigma k=1, q-1 [kp/q] = [p/q] +[2p/q] + [3p/q]
+…….+[-3p/q]+p+[-2p/q]+p+[-p/q]+p
Donc on a (q-1)/2 terme de p et q-1 terme de parties entieres :
Donc :
Sigma k=1, q-1 [kp/q]
=[p/q]+[-p/q]+[2p/q]+[-2p/q]+…+[(q-1)p/2q]+[-(q-1)p/2q]+ (q-1)p/2

On sait que
Si X est un nombre decimale [x] partie entiere est le nombre N entier
relatif tel que
N= <x<N+1 <=> -(N+1) < -x =< -N
Donc si x est entier [-x]=-N mais si x est strictement decimal (pas entier)
[-x]= -N-1
Donc pour tout x decimal et non entier [x]+[-x]=-1

Et on remarque que p/q, 2p/q, 3p/q …… (q-1)p/2q ne sont pas des nombres
entiers naturels : puisque p et q sont premiers entre eux et q>=2 donc le
premier nombre entier naturel plus grand que p/q est p (qp/q). et les
nombres cités en haut de la page sont tous plus grand que p/q mais aucun
deux nest égal ou plus grand que qp/p c'est-à-dire p.

Doù
[p/q]+[-p/q]+[2p/q]+[-2p/q]+…+[(q-1)p/2q]+[-(q-1)p/2q]=-1-1-1-1......=-1(q-1)/2
Donc :
Sigma k=1, q-1 [kp/q]
=[p/q]+[-p/q]+[2p/q]+[-2p/q]+…+[(q-1)p/2q]+[-(q-1)p/2q]+ (q-1)p/2
Devient
Sigma k=1, q-1 [kp/q] =-1(q-1)/2+(q-1)p/2
Sigma k=1, q-1 [kp/q] =1/2(q-1)(p-1)

bonjour

Soution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

Remarquons que :

2S = Sigma_k=1^q-1 ( [kp/q] +[(q-k)p/q] )
=Sigma_k=1^q-1 ( [kp/q] +[p -kp/q])
=Sigma_k=1^q-1 ([kp/q] +p +[-kp/q])
comme [kp/q] + [-kp/q] = -1 pour tt 1<_k <_q-1 (puisque kp/q n'appartient pas à Z)
Alors : 2S= Sigma_k=1^q-1 ( p-1)
= (q-1)(p-1)

Sauf erreur...

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour,
Pour k de 1 à q-1, on pose : x_k=[kp/q]
On a qx_k =< kp < qx_k + q ==> 0 < y_k= kp - qx_k < q
car qx_k < kp puisque pgdc(p,q)=1 .
Si y_k=y_k' ==> kp - qx_k=k'p - qx_k'
==> (k-k')p=q(x_k-x_k') ==> par Gauss q divise k-k'<q
==> k=k'
En d'autre termes l'application k --> y_k est bijective de {1,...,q-1} dans lui même
Donc (somme de k=1 à q-1) y_k=(somme de k=1 à q-1)k= q(q-1)/2
==> (somme de k=1 à q-1)x_k=(somme de k=1 à q-1) (kp/q - y_k/q)
==> (somme de k=1 à q-1)x_k=p(q-1)/2-(q-1)/2=(p-1)(q-1)/2
A+

Bonjour!
Solution postée.
A+
Ciao!
voici la solution de kendor
Si kp/q est entier,alors q divise kp.
Or p et q sont premiers entre eux.Donc q divise k (théorème de Gauss).
Ceci est impossible car k est compris entre 1 et q-1.
Donc kp/q n'est pas entier.
Donc (q-k)p/q=p-kp/q n'est pas entier non plus.
Ceci justifie les inégalités strictes suivantes:
kp/q-1<[kp/q]<kp/q et (q-k)p/q-1<[(q-k)p/q]<(q-k)p/q.
Les inégalités à gauche sont toujours strictes et on a démontré ci-dessus que celles à droite le sont aussi.

On a donc:p-2<[kp/q]+[(q-k)p/q]<p
Donc [kp/q]+[(q-k)p/q]=p-1 (seul entier possible strictement entre p-2 et p)

Si S=somme des [kp/q],k allant de 1 à q-1,alors en écrivant S une fois dans un sens,puis une fois dans l'autre,on obtient:
2S=somme pour k variant de 1 à q-1 des [kp/q]+[(q-k)p/q]=p-1
Ainsi 2S=(q-1)(p-1)

D'où la solution:S=(p-1)(q-1)/2.
CQFD.

solution postee
voici la solution de kalm
{k=1 jusq'a k=q-1} [kp/q]
on a pGDC(p;q)=1 donc: p=qr+1 r de lN
{k=1 jusq'a k=q-1} [kp/q]= {k=1 jusq'a k=q-1}[kr+k/q]
= {k=1 jusq'a k=q-1}kr+ {k=1 jusq'a k=q-1}[k/q]
=1/2*rq(q-1)+ {k=1 jusq'a k=q-1}[k/q]
on s'ait que [1/q]+[2/q]+...+[(q-1)/q]=0+0+...+0=0
donc:1/2*rq(q-1)+ {k=1 jusq'a k=q-1}[k/q]=1/2*rq(q-1)
=1/2(p-1)(q-1)
donc: {k=1 jusq'a k=q-1} [kp/q]=1/2(p-1)(q-1)

bonjour solution postée
solution non trouvé parmis mes mails administrateur

supposons que : sigma((1<k<n) ( kp/q) = 1/2(p-1)(q-1) , est vrai.
on a 2S=(p-1)(q-1).c à d : il existe un N appartient a [N]. telle que : 2 divise (p-1)(q-1).
c à d : 2/(p-1) ou 2/(q-1).
donc : " 2 ne divise pas p" ou " 2 ne divise pas q ".
ce qui est evident.
( car p et q sont des premiers ).

d'ou la somme est vraie.

Slt Samir J voudrais savoir le probleme dans ma reponse merci!!

quel problème !!!
tu es parmis les champions de cette semaine
https://mathsmaroc.jeun.fr/viewtopic.forum?t=1315

DESOLEEE Il ya eu un malentendu C tout