Theoreme de Hadamard

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficient dans IK de terme général a_(ij)
On dit que A est a diagonale strictement dominante si , pour tout j |a_(ij)|>Sum(|a_(ij)|)(avec i différent de j).

Monter que dans ce cas la matrice A est inversible.

Salut Hamza ,
Tu peux raisonner par l'absurde et supposer que cette matrice n'est pas inversible. donc il existe X matrice colonne non nul tq AX=0 ( en effet , car Ker A (ou Ker de son endo canoniquement associé) est non réduit au vecteur nul.
Ensuite tu explicites X=x1;x2;....xn tu traduit en termes de système AX=0 et tu choisis la ligne (i) où |xi| est maximal utilises l'inégalité triangulaire et le fait que la matrice A est à diagonale strictement dominante. et obtiens une absurdité.
A++

Supposons que La matrice A n'est pas inversible
Soit x=(x1,....xn) matrice COLONNE et AX=(y1,....,yn) matrice COLONNE tel que AX=(y1,0
car (ker(A)) n'est pas réduit au vecteur nul{(je dois le monter?) car je ne le savais pas !}
Soit i_0 tq |i_0|=Max{|X_i|;avec i£[1;n]}
yi_0=0 <=> a(i_0,1)*x_1+......+a(i_0,n)*x_n=0
J'isole le terme a(i_0,i_0)*x_(i_0)
et après 2 ligne de rédaction [pénible à écrire par clavier ^^]
On trouve |a(i_0,i_0)|<Sum|a(i_0,j)| ABSURDE !

Merci callo

PS: j'aimerai bien que tu explique un peu plus

Citation :

( en effet , car Ker A (ou Ker de son endo canoniquement associé) est non réduit au vecteur nul

ON a pas fait en cours :s la définition d'un noyau d'un matrice !

Le noyau d'une matrice A que l'on note Ker A est le noyau de u l'endomorphisme canoniquement associé à A. ie l'endo u tq A=M(u) dans la base canonique de K^n.
Ou bien (ce qui revient au même) l'ensemble des vecteurs (x1...xn) tq AX=0 où X la matrice colonne constitué des scalaires x1...xn.

Merci hamza

sans Problèmes.
J'ajoute que A est non inversible sSi l'endo u associé à A n'est pas bijectif ssi u est non injectif (car en dimension finie un endo est bijectif ssi il est injectif ssi il est surjectif)
ssi keru # {0} ssi KerA#{0} ssi il existe X matrice colonne non nulle tq AX=0

Tout est beaucoup plus claire cher ami