bon exercice arithmetique

slt.voila un bon exo d'arithmetique.
1-soit p premier et p>2.
a)-demontrer que Vk£ (1.2........p-1) p/PcK (k combinaisons parmis p).
b)-en deduire que Vx£Z x=1[p] => x^p=[p^2].
2-a)-resoudre dans Z.Z 23x-840y=1.(E)
b)- trouver le seul couple (d,e) solution a (E) et 0=<e<23 et =<d<840.
3-decomposer 2009 en produit de nombres premiers.
4)soit a£Z a ^ 2009=1.
a)-demontrer a^40=1[41] et a^6=1[7].
b)-demontrer que Vx£Z x=1[7] => x^7=1[7^2] et deduire que a^42=1[7^2]
c)-demontrer que
a^840=1[41] et a^840=1[7^2].
d)- demontrer que a^840=1[2009].
5-en pose A={a£{1.2.....2009}/a ^ 2009=1} et f l'application de A vers A definit par:f(a) est le reste de la division euclidienne de a^23 sur 2009.demontrer que f est bijection et en deduire f^(-1).
NB £: appartient
a^b: a a la puissance b
a ^ b : pgcd de a et b.
Z.Z produit cartesien de Z et Z.

1/pCk=p{(p-1)!/k!(p-k)!}==>p*{(p-1)C(k-1)}=k*pCk
{(p-1)C(k-1)} e N donc p/k*pCk comme p^k=1 alors p/pCk
2/x=1[p]==>x=pu+1/u eZ
x^p=(pu+1)^p=sum{i=0 jusqua p} pCi*(pu)^p-i
=1+sum{i=0 jusqua p-1} pCi*(pu)^p-i
selon ce qui precede p/pCi et p/(pu)^p-i donc p²/pCi*(pu)^p-i donc
x^p=1[p²]
3/23x-840y=1
(-73.-2) solution donc
x=840k-73 et y=23k-2 k e Z
0<=e<23 ==>0<=23k-2<23==>k=1==>e=21
0<=d<840==>k=1==>d=767
2009=41*49
au+2009v=1==>au+41(49v)=1=>a^41=1 et au+7(7*41*v)=1=>a^7=1
donc selon fermat a^40=1[41] et a^6=1[7]
selon ce qui precede comme 7 premier >=2 alors
qqsopit x e Z w=1[7]==>x^7=1[7²]
donc (x^7)^6=1[7²]==>x^42=1[7²]
840=40*21=42*20 on deduit de la meme facon
41/a^840-1 et 49/*a^840-1 49^41=1 donc
2009/a^840-1=>a^840=1[2009]
a^23=f(a)[2009) et f(a) e A
A ensemble fini il suffit de montrer que f est injective de A vers A
soit b et a de A
f(a)=f(b)==>a^23=b^23[2009]==>a^(32*-73)=b^(23*-73)[2009]
==>a^840*-2+1=b^840*-2+1(2009]=>a=b[2009] car a^840=1[2009]
(a^209=1 e a e A ==>0<a<2009)
don 2009/a-b et on a /a-b/<2009==>a-b=0=+>a=b donc f injective dou f bijection de a vers A et on a
a^23=f(a)^[209]==>a^840e+1=f(a)^d{2009]==>a=f(a)^d[2009]
f-1 defini de A vers A
a/---->f-1(a)/ a^d=f-(a)=[2009]
sauf erreur

pourqoi l inejctvité suffit lorseque A est fini ?? merci

si f esst definie d'un ensemble A fini vers A don,c
f injective<=> f bijective <=>f surjective
(je pense que c'est une propriete de l'an dernier)
sauf erreur