exercice en arithmetique

Soit p un nombre premier et a,b de Z.
Montrer que si a^p congru à b^p (modulo p)
alors a^p congru à b^p (modulo p²)

dabord : fermat :
a^p=a(p) et b^p=b(p) et on a a^p=b^p(p) donc a=b(p) donc p/a-b
dotre coté on a a^p - b^p= (a-b) ( a^(p-1) + a^(p-2)*b+..........+b^(p-1) )
ici p doit etre premier avec a et b pour poursuivre : donc a^(p-1)=1(p) et meme chose pr b
et b=a (p) donc b*a^(p-1)=a(p) et on a p^a=1 don b*a^(p-2)=1(p) et on fai meme chose pr le reste ce ki donne en fin dcompte:
( a^(p-1) + a^(p-2)*b+..........+b^(p-1) ) = sigma 1 ( de 1 juska p ) [p]
( a^(p-1) + a^(p-2)*b+..........+b^(p-1) ) = p[p]
donc ( a^(p-1) + a^(p-2)*b+..........+b^(p-1) ) = kp, ainsi ke a-b=k'p dou k et k' appartenant a Z
ce ki donne ke (a-b)*( a^(p-1) + a^(p-2)*b+..........+b^(p-1) )=kk'p²
enfin dcompte a^p - b^p = 0 [p²]

oui c juste.y a une autre méthode mais c presque la meme on utilise Fermat
on a: a^p=a(p) et b^p=b(p) donc a=b (p)
cad a=pk+b alors a^(p-1)=(pk+b)^(p-1)
avec le binome de newton on trouve facilement que: (bk+p)^(p-1)=b^(p-1) (p)
d'ou le resultat.

oui c vrai mai c comme si tu demontre le theoreme de fermat depui ldebut !