Resoudre l'equation différentielle :

Résoudre : Y''+|Y|=0

(Cet exercice n'est pas très difficile , mais demande du soin et de la patience ! Oral mine/pont )

Y"=-|Y|=<0 ==> Y est concave
Soit A={x€IR/ Y'(x)=0} ==> 2 cas

1) A=vide ==> Y strict. monotone
2) A non vide ==> A est intervalle [a,b] ! ==> sur ]-00,a] , Y croissante et sur [b,+00[, Y décroissante

Ceci permet de discuter sur le signe de Y, puis l'équation est facile.

Bilan :
L'ensemble des solutions sur de (E) est constitué de :
1)f=0
2)f:x|--->A*exp(x) et A<0 ; f:|--->A*exp(-x) et A<0
3)f:x|--->A*ch(x-alfa), A<0 , alfa £ IR
4)f:x|---> A*sh(x-alfa+(Pi/2)) si x=<alfa- (Pi/2)
A*cos(x-alfa) si |x-alfa|=<Pi/2
A*sh(x-alfa+(Pi/2)) si x=>alfa + Pi/2

Pour les trois deniers cas alfa £ IR et A>0

OUf!