différentielle

Bonjour,

J'ai un probème de calcul différentiel.

Soit P:C1-->C0 telle que P(f)= g°f où g est une fonction lisse.
Pourquoi a-t-on:
DP(f).h=g'(f)h??


Si quelqu'un pouvait me donner qqlques indications ca serait sympa

Merci

BJR matheuse !!!
J'ai un peu honte
mais peux-tu me rappeler ce que c'est :
<< une fonction lisse >>
Merci !!
A+ LHASSANE

Bonjour,

Ya pas de honte, j ai appris ca recemment!!
lisse signifie de classe infini, infinément derivable.

merci d'avoir pris le temps de lire...

a+

Je vais y réfléchir , c'est du Calcul Diff et c'est déjà loin pour moi !!
Quelles normes mets-tu sur les evn C1 et C0 ???
Tu trouveras n'importe comment une réponse à ton sujet !!!
A+ LHASSANE

c'est la norme infini!

"Tu trouveras n'importe comment une réponse à ton sujet !!!" ???

ben a vrai dire, j'ai essayer les astuces habituelles pour calculer une differentielle mais je ne trouve le bon résultat.

merci

a+

matheuse a écrit:

....
"Tu trouveras n'importe comment une réponse à ton sujet !!!" ???

ben a vrai dire, j'ai essayer les astuces habituelles pour calculer une differentielle mais je ne trouve le bon résultat........

Je voulais dire par là que JE te promets , n'importe comment , une réponse à ta question , je prends simplement le temps d'y réfléchir ......
A+ LHASSANE

matheuse a écrit:

........
Soit P:C1-->C0 telle que P(f)= g°f où g est une fonction lisse.
Pourquoi a-t-on:
DP(f).h=g'(f)h??
..........

Soit f fixée dans C1 et h ( l'accroissement ) aussi dans C1
Pour tout x dans I ( intervalle [a;b] ou IR cela n'est pas précisé dans ton énoncé ) , on peut écrire :
{P(f+h) - P(f)}(x)={go(f+h)}(x) - gof(x)
=g{f(x)+h(x)} - g(f(x))
La fonction g est << LISSE >> , on utilise alors la formule de TAYLOR à l’ordre 2 suffira entre f(x) et f(x)+h(x) : il existera un Théta (x) compris entre 0 et 1 tel que
g{f(x)+h(x)} - g(f(x))=h(x).g'(f(x))+(1/2).h^2(x).g’’( h(x) .Théta(x))
Ainsi :
{P(f+h) - P(f)}(x)={go(f+h)}(x) - gof(x)= h(x).g'(f(x))+(1/2).h^2(x).g’’( h(x) .Théta(x)) qui s’écrit aussi
{P(f+h) - P(f)}(x) - h(x).g'(f(x))}=(1/2).h^2(x).g’’( h(x).Théta(x))
On prend le Sup en x dans I et on obtiendra :
|| P(f+h) - P(f) - h.g'(f) ||<=(1/2).||h||^2.||g''|| =o(||h||)
et de là tu en déduis que l’application linéaire h -------> h .g’(f) est bien la DIFFERENTIELLE de P en f .
A+ LHASSANE

Remarque : il n'était pas nécessaire que g soit LISSE ( c'est trop fort comme hypothèse ) pour conclure ,
il suffisait seulement que g soit C2 !!!!!

merci Lhassane.

Je n'ai jamais calculer les différenttielle de cette maniere la mais ca semble coherent.

Parcontre je voulais savoir quand tu passe au sup en x que devient le theta(x)?

Le Théta (x ) figure à l'intérieur de g''
<< g’’( h(x).Théta(x)) >>
On a |g’’( h(x).Théta(x))|<=||g''||
|| P(f+h) - P(f) - h.g'(f) ||<=(1/2).||h||^2.||g''|| et donc :
Lim || P(f+h) - P(f) - h.g'(f) ||/||h]] =0 lorsque ||h||---->0
Celà te va ????
A+ LHASSANE

euh en fait, g" n'est pas lineaire donc je ne comprend pas l'inegalité suivante:
|g’’( h(x).Théta(x))|<=||g''||.|h(x)|

matheuse a écrit:

euh en fait, g" n'est pas lineaire donc je ne comprend pas l'inegalité suivante:
|g’’( h(x).Théta(x))|<=||g''||.|h(x)|

C'est |g’’( h(x).Théta(x))|<=||g''|| tout simplement !!
A+ LHASSANE

ok merci beaucoup...

a+