MAX(pgcd)

salam

exo:

(x,y) solution dans Z² de l'équation : 4x - 3y = 11

1) Trouver la valeur maximale de pgcd(x,y)
2) Déterminer le(s) couple(s) (x,y) correspondants.

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la valeure maximale est 11 biensur car pgcd(x,y)|4x-3y=11.
apres c'est comme d'habitude pour résoudre une équation diophantienne de ce genre c'est dans le programme.

1) max pgcd(x,y)=11

2) les solutions sont de la forme : {(3k+5 ; 4k+3)}

et On a 11 divise x et 11 divise y

<=> 3k+5=0[11] et 4k+3=0[11]
<=> 3k = -5 = 6[11] et 4k = -3 = 8[11]

--> k=2[11] <=> k = 11n+2

S = {( 33n+11 , 44n+11 )} .. sauf erreur !

1/d=pgcd(x.y)
d/ x et d/y==>d/11 ==>d e { 1.11} donc max(pgcd(x.y))=11
2/on resoud l'equation d'abord
on trouve x=3k+5
y=4k+3 k e Z
d=11=> d/k-2==>k=2[11]
si k=2[11]==>x=0[11] et y=0|11] ==>d=11 donc
d=11<=> x=3k+5
y=4k+3
k=2[11]
sauf erreur

bravo à tous

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