Logarithmes et Rationnels

exo:

1) ln(2) / ln(3) est-il rationnel ?
2) A quelle condition sur les entiers p et q

ln(p) / ln(q) est-il rationnel ?

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Dans mes recherches j'ai démontrer dans un exercice que
pour tous x £ Q+ * -{1}; ln(x) £ R\Q.
Pour cela si vous voulez je vous ecris l'enoncé de la preuve avec integral bien entendu!
puisque Le produit d'un irrationnel par un rationnel(irrational) est irrationnel (on peut le montrer par absurde)
alors ln(p) / ln(q) est irrationel pour p et q £ N*\{1}
il est rationnel dans le cas ou p=1 et q £ N*.
et aussi dans le cas ou p=q biensur avec p et q £ N*\{1}.
Sauf erreur!!L'autre piste qui m'est venue: ln(p)/ln(q)=a/b.ce qui revient à dire que  p^b=q^a par bijectivité de la fonction ln.une étude de cas pour cette équation diophantienne s'exige!Have fun!

je veux bien naoufel , merci

.

Alors je l'écris en latex ! ayez la bonté de m'attendre! Merci!

On considere l'integrale:



Maintenant on passe par une IPP :



en posant et

Ainsi et

On obtient

ainsi avec et

D'ou

CAD

Maintenant je vous laisse le soin de prouver aisement avec récurrence que



Comme x appartient à alors et puisque est à coefficients entiers et de degré alors et sont aussi des entiers. puisque:

.

Or,, , et donc : *

D'après une inégalité quand peut démontrer des l'integrale:

qui est :

alors d'apres cette derniere on trouve que

Puisque alors

Alors apres une petite reflexion on vient à

La suite est une suite d'entiers non nuls qui converge vers 0, absurde.

Donc est irrationnel.

Soit si * d'apre ce qu'on vient de rediger absurde donc




C'est fatiguant ce latex! pas grave !!
Sauf erreur

c'est du boulot

je vois autrement

si : ln p/ln q = a/b

1) p=1 , q > 1 ====> a=0 , b # 0

2) p=q >1 =====> a=b #0

3) 1 < p # q =====> 0 < a # b
( on peut supposer a/b irréductible )

ln p/ln q = a/b <===> p^b = q^a

donc p et q ont les mêmes diviseurs premiers

soit di l'un d'eux

p = produit des( di^bi)
q = produit des (di^ai)

p^b = q^a =====> bi.b = ai.a

===> bi / ai = a/b : rapport rationnel constant k

exemple:

ln( (2^3).(5^8 ).(7^6) ) / ln( (2^6).(5^16).(7^12) = 1/2

3/6 = 8/16 = 6/12

conclusion :

lnp/lnq = k rationnel > 0 <===> p= q^k

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