Une suite de nombres rationnels positifs.

Une suite de nombres rationnels positifs a_1, a_2, ... vérifie a_m + a_n = a_{mn} pour tous m, n entiers naturels.
Montrer qu'au moins deux termes de cette suite sont égaux.

Hello !

Soit a_j et a_k deux élément non nuls, avec j et k nombres premiers (si on ne peut en trouver, c'est qu'on a plusieurs a_i nuls, et le résultat est immédiat)

a_j/a_k est un rationnel p/q

Alors a_(j^q) = q a_j et a_(k^p) = p a_k ==> a_(j^q) = a_(k^p) et j^q différent de k^p puisque j et k sont premiers.

CQFD

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Patrick

Ouaip.

Et maintenant, montrer que la conclusion n'est plus nécessairement vraie si notre suite peut contenir des nombres irrationnels.

mathman a écrit:

Et maintenant, montrer que la conclusion n'est plus nécessairement vraie si notre suite peut contenir des nombres irrationnels.

Soit un nombre transcendant "a"
Pour un entier n = produit(p_i^n_i) (sa décomposition en nombres premiers), prenons a_n = somme(n_i a^p_i)

a_n vérifie bien sûr la propriété.

De plus, a_n - a_m = 0 ==> somme(n_i a^p_i) - somme(m_i a^p'_i) est un polynôme en a à coefficients entiers. Comme a est transcendant, la nullité du polynôme implique la nullité de tous les coefficients ==> n = m

CQFD

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Patrick