Arctangente , Dificile !

Fn ( x ) = 2Arctan ( x^n / 1+rac ( 1+x^2n ) )

1- Montrer que : quelque soit x appartenant a R il se trouve un unique alpha appartenant a intervalle ouvert (-pi/2 . pi/2 ) tel que tan( alpha ) = x^n

2 - Montrer que quelque soit x appartenant a R Fn ( x ) = x ^n

Salut
cet exo est faut prenons le cas de x=pi et n=1
alors x^n=pi devrait etre egale a Arctan ( x^n / 1+rac ( 1+x^2n ) ) et on sait que arctan(x) est tjr encadré entre -pi/2 et pi/2 alors il ne peut pas etre egale a pi
et merci

Oui ta raison , Dsl , Fn ( x ) = 2Arctan ( x^n / 1+rac ( 1+x^2n ) [/b]

pour la premiere question , il suffit de dire que la fonction tg est continue+ bijective sur ]-pi/2;pi/2[ , est on a pour tt x appartenant à R , x^n appartient aussi à R= tg ( ]-pi/2;pi/2[ ), donc par le theoreme des valeurs intermediaires :
il existe un seul alpha appartenant à ]-pi/2;pi/2[ tel que :
tg(alpha)=x^n.

pour la deuxieme question ; on utilise tg(2x)=2tgx/(1-tg²x)
donc
tg( Fn(x))= 2 ( x^n / 1+rac ( 1+x^2n ) )/(1- ( x^n / 1+rac ( 1+x^2n ) )²)
on obtient : tg(Fn(x))= x^n

donc l'equation en question est tg(Fn(x))= x^n , et non pas

Fn(x)= x^n

Mercii , c exactement ce que je cherche :d

pour la premiere question il suffit de dire que la fonction x---->tan x est une bijection (-pi/2 , pi/2 ) vers IR donc

quelque soit x appartenant a R il se trouve un unique alpha appartenant a intervalle ouvert (-pi/2 . pi/2 ) tel que tan( alpha ) = x^n