Exo Melangant arctan e Suite WaW Urgent PLZ

Exo 60 MOUFID
an = (1-tanPi/7)^n
1) Sn = a0+a1+.....+a(n-1)
calculez Sn ; lim(+00)Sn
2) W0=0
W(n+1) = arctan(an + tan(Wn))
2)1Demontrez que Wn appartienet a I = [0,Pi/2[
2)2 Etudier la monotonie de Wn et demontrez qu'elle est MOUTA9ARIBA
2)3 demontrez que lim(un) = 5pi/14


Merci de m'aider pour la question 2

salut !!

je vois pas aucune difficulté !!

pour 1/ et voyez que (a_n) est gemetrique et que |1-tan(pi/7)|<1 ...

pour 2) a. demontrer par reccurence !!

b. y'a bcp des methodes (voir par exemple que tan(W_{n+1}) - tan(W_n) = a_n >= 0 ....)
je vous donne une remarque qui vas jouer un role dans la suite il suffit de montrer que pr tt n£IN W_n = arctan(S_n) (et voir que arctan est croissante )

donc lim W_n = Arctan(lim Sn) = pi/2 - pi/7 = 5pi/14

remarquer que pr tt x>0 arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 ..

et merci
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LAHOUCINE

Comment demontrer que pour tt n E N : Wn = arctanSn

matheux-prince a écrit:

Comment demontrer que pour tt n E N : Wn = arctanSn

Bonjour !!

bon tu peux la demontrer soit:

*) la recurrence.

*) directement :

W_n = arctan(a_{n-1} + tan(W_{n-1}) =arctan(a_{n-1} + tan(arctan(a_{n-2} + tan(W_{n-2})) = ....=arctan(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+...+a_0 + tan(W_0) = artctan(Sn) .

et merci
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LAHOUCINE