fonction strictement contractante

Bonjour,
Soit K un compact d'un evn ( E,|| ||), f :K---->K telle que pour tout x#y
|| f(x) - f(y) ||< ||x - y||. Montrer que f admet un point fixe unique.

AA+

J'ai pas vu où l'hypothèse evn intervenait ?

Donc si f : K -> K compact d'un espace métrique avec d(f(x),f(y)) < d(x,y)

f est continue donc par composition : x -> d(x,f(x)) est aussi continue.
Continue sur un compact => atteint ses bornes.

Si x0 est tel que d(x0,f(x0)) est minimal. Si x0 != f(x0), d(f(x0),f²(x0)) < d(x0,f(x0)) + contradiction.