f continue+injective=>f strictement monotone?

montrer que si f est continue et injective sur[a,b] alors f est strictement monotone sur [a,b]

salam:

I=[a,b]

Soit a < b deux éléments de I tel que f(a) < f(b) montrer alors que pour tout élément x de I

tel que a < x < b on a f(x) < f(a) < f(b) puis conclure que f est strictement croissante, Faites

de même pour le cas f (a) > f(b) puis conclure que f est dans tous les cas strictement

monotone sur I .

Alors on suppose que f est injective et continue sur I. On prend a < b dans I. Comme f est

injective, f(a)=/= f(b). Supposons que f(a) < f(b). Soit a < x < b. Il y a 3 possibilités pour f(x):

f(x) < f(a) < f(b) Alors le TVI dit que f(a) a un antécédent dans ]x,b[ ce qui est impossible puisque f est injective.

f(a) < f(b) < f(x) De même, le TVI dit que f(b) a un antécédent dans ]a,x[ ce qui est tout aussi impossible.

Donc seule possibilité: f(a) < f(x) < f(b).

tanmirt

o fait j'ai cru qu'en démontrant le résulat précédent je parviendrai à démontrer le résultat suivant:Soit f continue et définie sur [a,b] vers [a,b] montrer que f est injective et que fof est strictement croissante sur f
mais finalement peut être qu'il existe une autre manière

ou bien tu considere pour un certain c de [a,b[ les deux ensemble :
E={x>c/f(x)>f(c)} et F={x>c/f(x)<f(c)} si l un des deux ensembles est vide c est fini sinon le TVI est c est fini.

naplhitl a écrit:

o fait j'ai cru qu'en démontrant le résulat précédent je parviendrai à démontrer le résultat suivant:Soit f continue et définie sur [a,b] vers [a,b] montrer que f est injective et que fof est strictement croissante sur f
mais finalement peut être qu'il existe une autre manière

Mlle ... J'ai bien peur que VOUS N'Y PARVIENDREZ JAMAIS
<< je parviendrai à démontrer le résultat suivant:Soit f continue et définie sur [a,b] vers [a,b] montrer que f est injective et que fof est strictement croissante sur f >>


Depuis quand une application de [a,b] dans (ou sur) [a,b] continue ...
peut-elle être injective
Prenez donc a=0 , b=1 et f : x ----------> f(x)=x.(1-x)
pour vous en convaincre ....

Ami Calmement .

PS : rectification a=0 . C'est une ETOURDERIE toute simple ....

A-t-on jamais vu un intervalle [1,1] ? mais bon j’ai oublié un détail c’est que fof est injective :
Alors ce que je propose pour la première étape (montrer que f est une injection),
Par l’absurde : on suppose qu’il existe c et c’ tel que f( c )=f( c’ )(c et c’ appartenant à [a,b] )puis on pose X=f( c ) et Y =f(c’) puisque l’image de c’ et de c appartient elle aussi à [a,b] on pourra déduire par X=Y que f(X)=f(Y)(X et Y appartenant à Df=[a,b] )donc au final il existe c et c’ de [a,b] tel que fof( c ) =fof( c’ ) et c différent de c’ ce qui est une contradiction avec l’énoncé (fof est injective) on en déduit donc que f est injective.
Seconde étape :montrer que si f est continue et injective alors elle est strictement monotone :
On suppose que f n’est pas strictement monotone alors il existe x,y,z de [a,b] tel que x<y<z et
F(y)<f(x) et f(y)<f(z)(c’est comme une négation de la définition de la monotonie) on pose u de [a,b] tel que f(y)<u<min(f(x),f(z))
Donc d’après TVI il esxiste c de [x,y]et c’ de[y,z] tel que f( c )=f(c’)=u (contradiction avec : f injective)
Puis troisième étape : puisque f est strictement monotone ,soit elle est strictement croissante alors fof est strictement croissante soit f est strictement décroissante alors fof est strictement décroissante(f et f sont de même monotonie et la composée de deux fonctions de même monotonie est toujours croissnte) . fin de démo qu’en pensez vous c’est juste ?

On doit faire appel à une démonstration par absurde et un usage du paramétrage d'un segment dans IR, pour arriver à résoudre ce problème.