Symétrie axiale

Boujour est-ce que quelqu'un sait comment prouver qu'une droite
x=y est l'axe de symétrie d'une fonction
x-2racine de (x) + 1

Merci d'avance

Bonsoir,

- Étudier la continuité de la fonction sur IR+.
- Étudier la monotonie de la fonction sur IR+.
- En déduire qu'elle est bijective de IR+ vers f(IR+) et qu'elle admet une fonction réciproque.
- Montrer que sa fonction réciproque est égale à elle-même.

Merci beaucoup, mais je n'ai encore étudié la bijectivité, Savez vous s'il existe une autre méthode au programme de terminal.
Sinon ce n'est pas trop grave, j'aurais déjàs rendûs le devoir.
(Mais si vous voyez une autre méthode, n'hésitez pas quand même).

BSR Delta !!

La droite y=x s'appelle la 1ère Bissectrice .
Si tu prends un point quelconque ( u;v) du plan alors son SYMETRIQUE par rapport à cette droite sera le point ( v;u)
Par conséquent la courbe représentative Cf de f admettra la 1ère Bissectrice pour axe de symétrie si et ssi :

Pour tout x dans Df le symétrique de(x;f(x)) soit (f(x);x) est aussi sur Cf c'est à dire x=f(f(x)) .

ICI tu as f(x)=x-2racine de (x) + 1 ; Df=IR+
Celà s'arrange bien car en fait f(x)={ rac(x)-1 }^2
Il faut voir l'IDENTITE REMARQUABLE en posant t=rac(x) .

Et c'est à Toi de vérifier que f(f(x))=x pour tout x dans IR+ ?????

LHASSANE

PS : Je te rappelle que rac(t^2)=|t| pour tout réel t .

BJR Delta !!

Je viens de faire les calculs ......
Pour x dans IR+ on a:
f(f(x))={ rac{(rac(x)-1)^2} - 1 }^2
={|rac(x)-1| - 1|}^2

et on voudrait que ce soit égal à x ??!!

Après vérification , on s'aperçoit que x doit être dans [0;1] pour que celà marche !!!

Conséquence : c'est une portion de Cf correspondant à cette partie de Df qui est [0;1] , qui sera SYMETRIQUE par rapport à le 1ère Bissectrice .

La courbe Cf n'est pas TOTALEMENT symétrique par rapport à l'axe y=x ... C'est seulement une partie de Cf qui l'est !!

Bonne Journée !!

LHASSANE

En fait j'avais oublié de précisé que la courbe n'est la représentation de la fonction que sur [0;1], enfin tu l'as trouvé par toi même (c'est tout à ton honneur).

Merci beaucoup, j'ai déjà rendus le devoir, mais au moins j'ai appris quelquechose.

ps : En fait notre prof a dûs se tromper, elle nous a dit qu'on étudiera ça un peu plus tard dans l'année.

BSR Delta !

C'est une réponse à ton PS :
Ta Prof voulait une solution Light come celle que je t'ai donnée !!
En disant << que vous verrez celà un peu plus tard >> , elle faisait allusion à la solution de Matherror plus haut !!

Bonne Soirée !!

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR Delta !!
La droite y=x s'appelle la 1ère Bissectrice .
Si tu prends un point quelconque ( u;v) du plan alors son SYMETRIQUE par rapport à cette droite sera le point ( v;u)

En fait c'est surtout cette relation (l'idée de "première bisectrice" en particulier), je comprends le principe intuitivement et graphiquement (c'est assez facile à voir), mais je ne vois pas comment le démontrer au niveau du calcul.

Enfin ne t'embête pas là dessus, je le verrais sûrement un peu plus loin dans l'année.

BSR Delta !!

Ce n'est dur à comprendre !!
Juste un peu de Géométrie Analytique à ta portée !!

Voilà ! Ton repère est orthonormé d'origine O .
Tu prends un point M(u,v) différent de O et tu considères le point N(v,u) .
Maintenant tu prouves que le triangle OMN est ISOCELE en O en montrant que OM=ON ( en longueur ) puis tu montres que la Droite passant par M et N est PERPENDICULAIRE à la droite y=x .
Pour celà , il suffira de trouver le Coefficient Directeur de cette droite et vérifier qu'il vaut -1 .

Et celà tu peux sans difficultés le faire tout seul !!

LHASSANE