Question n°3: Dérivabilité

1) Soit r la racine positive de t²=t+1 (nombre d'or). Alors pour c=(1/r)^(1/r) l'application x --> cx^r est dans E.

2) lim f en 0 est nulle

3) clair

4) f est strictement croissante car f'=f^(-1)>0 d'où l'unicité de point fixe. ...

On note E l'ensemble des fonctions f de classe C^1 bijectives de ]0,+00[ sur ]0,+00[ telles que f'=f^{-1}.
1) Trouver un élément de E du type x---> ax^r, où a et r sont réels.
2) Quelle est la limite en 0 de f?
3) Montrer que f et f^{-1} sont de classe C^00 sur ]0,+00[.
4) Montrer que f admet un unique point fixe a.
5) Montrer que g(a)=a, pour tout g de E.