Problème de la semaine N°216(14/11/2009-21/12/2009)

solution posté

Solution postée!

Solution postée !

Lz solution de Majdouline


solution du problème de la semaine(sauf erreur):
soit {x} la partie décimale de x....
F(x)=x-{x}=E(x) (E(x)=la partie entière de x)
on a (∀x∈IR+):E(x)∈IN
on a E(x)+E(1/x)=1...or (E(x),E(1/x)∈IN²) car (x,1/x)∈IR²+
alors( E(x)=1 et E(1/x)=0 )ou (E(x)=0 et E(1/x)=1)
si E(x)=1 et E(1/x)=0:
E(x)≤x<E(x)+1 et E(1/x)≤1/x<E(1/x)+1
d'où 1≤x<2 et 0≤1/x<1 ⇔ 1≤x<2 et 1<x==>x∈]1,2[(1)
si :E(x)=0 et E(1/x)=1:
0≤x<1 et 1≤1/x<2 ⇔0≤x<1 et 1/2<x≤1==>x∈]1/2,1[(2)
-------------------------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a : x∈]1/2,1[∪]1,2[

La solution de houssam110



Salut
on a x = [x] + {x} qq soit x de IR ({} partie décimale)

donc x-{x}= [x] ==> F(r)=[r]
on doit trouver tous les réels r positifs tel que :
[r]+[1/r]=1
si r >=1 ==> [1/r]=0
donc [r]=1 ==> r £ [1,2[
si r=<1 ==> [r]=0==> [1/r]=1 ==> 1/r £ [1,2[ ==> r £ ]1/2 , 1]
donc pour avoir F(r)+F(1/r)=0 il faut que r £ ]1/2,2[
S=(]1/2,2[)
A+

La solution de wagshall

bonjour

je crois que tu veux dire dans le probleme de la semaine que F(r)=r - [r] où [r] partie entiere de r (pas decimale)

et si le cas de l'enoncé est vrai alors f(r) = r - [r] = E(r) avec E(r) la partie entiere de r d'ou
f(r) = E(r) finalement r>0 et si r>1 E(1/r)=0 et E(r) > 1 d'où l'equation f(r) + f(1/r) = 1 n'admet aucune solution > 1 et si 0< r <1 alors de même car f(r) + f(1/r) pr r>1 = f(r) + f(1/r) pr r<1 donc si r=1 on aura f(1) + f(1) = 2f(1) = 2 # 1 donc finalement n'a pas de solution positive

La solution de yugayoub

saluut voilà ma solution pu le probleme de semaine n°:216
on a r£IR+ la partie decimal peut s'ecrir sous cette forme prtdeci(r)=r-[r]
donc F(r)+F(1/r)=r-prtdeci(r)+(1/r)-prtdeci(1/r)=r-r+[r]+(1/r)-(1/r)+[1/r]=[1/r]+[r]=1

1/r<ou=[1/r]<1/r+1
et r<ou=[r]<r+1
donc 1/r+r<ou=[1/r]+[r]<1/r+r+2
donc (1+r²)/r<ou=1<2r+1+r²/r
<==>1+r²<ou= r <r²+1+2r
<==>0<ou=r-r²-1 <2
<==>0<ou=r-r²-1 et r-r²-1<2
<==>0<ou=r-r²-1 et r-r²-3<0
apres avoir resolu les deux inéquation
pour 0<ou=r-r²-1 on trouve que S1={}
et pour r-r²-3<0 on trouve S2=IR

<==> S=S1 n S2={}
sauf erreur

prtdeci(r): partie decimal de r
[r] : la partie entiere de r
S1 n S2 : intersection
{}: ensemble vide

Salut jmsuis trompé dans la 1ere et jté envoyé la bonne solution mais tu la po posté bon voici ma solution :

on a x = [x] + {x} qq soit x de IR ({} partie décimale)

donc x-{x}= [x] ==> F(r)=[r]
on doit trouver tous les réels r positifs tel que :
[r]+[1/r]=1
si r >1 ==> [1/r]=0
donc [r]=1 ==> r £ ]1,2[
si r<1 ==> [r]=0==> [1/r]=1 ==> 1/r £ ]1,2[ ==> r £ ]1/2 , 1[
si r=1 [r]=[1/r]=1 ==> F(r)+F(1/r)=2
donc pour avoir F(r)+F(1/r)=0 il faut que r £ ]1/2,2[-{1}
S=(]1/2,2[-{1})
A+

wooow...des solution assez divers pour un problème assez clair.....
mais y a ceux qui ont trouvé que S=l'ensemble vide???????!!!!!!!!!!!! ...mais c faux....
je crois redouane que vous devez réviser ces solutions...car la plupart des solutions trouvées sont fausse....

Salam!!
Pk ensemble viDe ?!!?
prenons r=3/4 ==> F(r)=3/4-0.75=0
et F(1/r)=4/3-0.33333....3333 =1
F(r)+F(1/r)=1 (c une solution r=3/4 ...??)

>>majdouline: J'ai postée toute la solution,les correctes et les fausses.