| Problème de la semaine N°216(14/11/2009-21/12/2009) | |
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radouane_BNE Modérateur
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![Problème de la semaine N°216(14/11/2009-21/12/2009) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Problème de la semaine N°216(14/11/2009-21/12/2009) Lun 14 Déc 2009, 16:29 | |
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radouane_BNE Modérateur
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![Problème de la semaine N°216(14/11/2009-21/12/2009) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: Problème de la semaine N°216(14/11/2009-21/12/2009) Lun 14 Déc 2009, 16:30 | |
| chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr (Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée".pour plus d'information voir les conditions de participation.
pour ceux qui veulent l'envoyer en mp,veuillez l'envoyer à ma boite!
Merci! | |
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yugayoub Expert sup
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houssam110 Expert sup
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samix Expert grade2
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radouane_BNE Modérateur
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| Lz solution de Majdouline
solution du problème de la semaine(sauf erreur): soit {x} la partie décimale de x.... F(x)=x-{x}=E(x) (E(x)=la partie entière de x) on a (∀x∈IR+):E(x)∈IN on a E(x)+E(1/x)=1...or (E(x),E(1/x)∈IN²) car (x,1/x)∈IR²+ alors( E(x)=1 et E(1/x)=0 )ou (E(x)=0 et E(1/x)=1) si E(x)=1 et E(1/x)=0: E(x)≤x<E(x)+1 et E(1/x)≤1/x<E(1/x)+1 d'où 1≤x<2 et 0≤1/x<1 ⇔ 1≤x<2 et 1<x==>x∈]1,2[(1) si :E(x)=0 et E(1/x)=1: 0≤x<1 et 1≤1/x<2 ⇔0≤x<1 et 1/2<x≤1==>x∈]1/2,1[(2) ------------------------------------------------------------------------- de (1) et (2) on a : x∈]1/2,1[∪]1,2[ | |
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radouane_BNE Modérateur
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| La solution de houssam110
Salut on a x = [x] + {x} qq soit x de IR ({} partie décimale)
donc x-{x}= [x] ==> F(r)=[r] on doit trouver tous les réels r positifs tel que : [r]+[1/r]=1 si r >=1 ==> [1/r]=0 donc [r]=1 ==> r £ [1,2[ si r=<1 ==> [r]=0==> [1/r]=1 ==> 1/r £ [1,2[ ==> r £ ]1/2 , 1] donc pour avoir F(r)+F(1/r)=0 il faut que r £ ]1/2,2[ S=(]1/2,2[) A+ | |
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| La solution de wagshall
bonjour
je crois que tu veux dire dans le probleme de la semaine que F(r)=r - [r] où [r] partie entiere de r (pas decimale)
et si le cas de l'enoncé est vrai alors f(r) = r - [r] = E(r) avec E(r) la partie entiere de r d'ou f(r) = E(r) finalement r>0 et si r>1 E(1/r)=0 et E(r) > 1 d'où l'equation f(r) + f(1/r) = 1 n'admet aucune solution > 1 et si 0< r <1 alors de même car f(r) + f(1/r) pr r>1 = f(r) + f(1/r) pr r<1 donc si r=1 on aura f(1) + f(1) = 2f(1) = 2 # 1 donc finalement n'a pas de solution positive | |
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| La solution de yugayoub
saluut voilà ma solution pu le probleme de semaine n°:216 on a r£IR+ la partie decimal peut s'ecrir sous cette forme prtdeci(r)=r-[r] donc F(r)+F(1/r)=r-prtdeci(r)+(1/r)-prtdeci(1/r)=r-r+[r]+(1/r)-(1/r)+[1/r]=[1/r]+[r]=1
1/r<ou=[1/r]<1/r+1 et r<ou=[r]<r+1 donc 1/r+r<ou=[1/r]+[r]<1/r+r+2 donc (1+r²)/r<ou=1<2r+1+r²/r <==>1+r²<ou= r <r²+1+2r <==>0<ou=r-r²-1 <2 <==>0<ou=r-r²-1 et r-r²-1<2 <==>0<ou=r-r²-1 et r-r²-3<0 apres avoir resolu les deux inéquation pour 0<ou=r-r²-1 on trouve que S1={} et pour r-r²-3<0 on trouve S2=IR
<==> S=S1 n S2={} sauf erreur
prtdeci(r): partie decimal de r [r] : la partie entiere de r S1 n S2 : intersection {}: ensemble vide | |
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houssam110 Expert sup
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| Salut jmsuis trompé dans la 1ere et jté envoyé la bonne solution mais tu la po posté bon voici ma solution :
on a x = [x] + {x} qq soit x de IR ({} partie décimale)
donc x-{x}= [x] ==> F(r)=[r] on doit trouver tous les réels r positifs tel que : [r]+[1/r]=1 si r >1 ==> [1/r]=0 donc [r]=1 ==> r £ ]1,2[ si r<1 ==> [r]=0==> [1/r]=1 ==> 1/r £ ]1,2[ ==> r £ ]1/2 , 1[ si r=1 [r]=[1/r]=1 ==> F(r)+F(1/r)=2 donc pour avoir F(r)+F(1/r)=0 il faut que r £ ]1/2,2[-{1} S=(]1/2,2[-{1}) A+ | |
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| wooow...des solution assez divers pour un problème assez clair..... mais y a ceux qui ont trouvé que S=l'ensemble vide???????!!!!!!!!!!!! ![Shocked](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_eek.gif) ...mais c faux.... je crois redouane que vous devez réviser ces solutions...car la plupart des solutions trouvées sont fausse....
Dernière édition par majdouline le Lun 21 Déc 2009, 20:57, édité 1 fois | |
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| Salam!! Pk ensemble viDe ?!!? prenons r=3/4 ==> F(r)=3/4-0.75=0 et F(1/r)=4/3-0.33333....3333 =1 F(r)+F(1/r)=1 (c une solution r=3/4 ...??) | |
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| >>majdouline: J'ai postée toute la solution,les correctes et les fausses. | |
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