Exercice sur les limites

Bonjour,

Démontrer que

lim(x->0) sin(x)/x = 1

lim(x->0) tan(x)/x = 1

lim(x->0) 1-cos(x)/x² = 1/2


Bonne chance a tous !

c pas x->0 plutôt ?

si si je corrige tout de suite !!

essai d'encardrer x entre sinx et tanx et tu trouvera les deux premiéres limites !!
pour la deuxiéme 1-cosx = 2sin^2x/2 et tu refais les limites d'en haut ^^

J'ai mal compris en ce qui concerne encadrer x

tu vas montrer que sinx<x<tanx ( choisi un petit intervalle ayant pour centre 0 ^^ ) et bonne chance

c'est quoi la relation entre sinx<x<tanx et limite soit plus clair stp

Bein je voudrais te laisse travailler un peu plus ... Mais bon
a partir de cette encardrement tu trouvera ta limite de sinx/x essai d'arriver a sinx/x ^^

facile tes exos lilo tu n'as qu'a poser f(x)= sinx et comme ca tu auras lim f(x)-f(0)/ x-0
apres tu calcules la derivée de sinx ce qui veut dire fprime(x)=cosx et tu remplaces x par 0
meme chose pour les autres^^
voila c fait bonne chance^^

Regarde l'Exo 87-p107 de almoufid (analyse ..)

on a pas encor fait la derivee et svp soyer clair ou juste mo ntrer moi comment faire avec la sin les 2 autres je sais comment

a mon avis la derivee est le moyen le plus simple

Ok un indice plus clair :
prend par exemple l'interval ( -pi/6 ; pi/6 )
et ( puisque tu n'as pas encor étudier de dérivée ) essaie de montrer a partir du cercle trigonométrique ( comme a dis mon cher MOHE ) que sinx<x<tanx dans cet interval ^^

et c'est suffisant pour generaliser ?

Bin si on a :
u(x)<=f(x)<=v(x)
et
Lim(x->a) u(x)=Lim(x->a) v(x)=l
donc :
Lim(x->a) f(x))l

bonsoir !

soit (C) un cercle trigo et 0<x<pi/2
donc OI=1
S_OMC =1/2 .OM.MC=1/2 .sinx.cosx
S_[MôI]=1/2 .x
S_TOI=1/2 . tanx
donc
S_OMC<S_[MôI]<S_TOI
<==> 1/2 sinx.cosx<1/2 .x<1/2 .tanx
donc
cosx.sinx<x<tanx <==> x.cosx<sinx<x/cosx
<==> cosx<sinx/x<1/cosx pour tt x de ]0,pi/2]
si x £ ]-pi/2,0[ donc -x£ ]0,pi/2[
et puiske cos x est pair
donc

cosx<sinx/x<1/cosx reste correct pour tt x de ]-pi/2,pi/2[
et les gendarmes disent ke
lim sinx/x =1
(x-->0)
avec cette limite on pt démontrer les autres c'est assez facile
just
tanx/x=sinx/x . 1/cosx
et (1-cosx)/x²=2sin²(x/2)/4(x/2)² ...
CQFD

Imane
A+

Une petite erreur avec les gendarmes on aura
lim sinx/x = 1 pas 0
(x-->0)

car cos 0 = 1

sinon merci pour ta réponse détaillée !!