Exercice De Limites .

Voici un exercice de limites :
Soit f une fonction définie sur R et périodique . Démontrer que f admet une limite en + l'infini si et seulement si f est constante .
Bon courage

tres bon exercice qui me tourmente pour des jours j'espere vraiment etre onvaincu par de bonnes reponses!!

Est-ce que tu as eu une réponse mais qui n'a pas été convaincante ?

https://mathsmaroc.jeun.fr/t17222-fonctions-periodiques-admettant-des-limites-en-l-infini
Au cas où vous n'entendez pas le raisonnement utilisant les suites, il existe une solution plus élémentaire utilisant la définition epsilonesque de la limite d'une fonction.

tres bonne solution et merci d'avoir publier l'exercice.
j'ai essaye de le faire avec la definition epsilonesque, mais j'ai echoue,si vous pouvez et voulez nous l'expliquer,on y serait tres remerciants

Soit une fonction f périodique non constante, admettant une limite (supposons qu'elle est finie, le cas infini est presque semblable) en +l'infini.

Puisque f est non constante, il existe a et b tels que f(a) est différent de f(b). Puisque f est périodique, alors il existe c et d arbitrairement grands tels que f(c)=f(a) et f(d)=f(b), et par conséquent, f(c) est différent de f(d).

Puisque f a une limite finie en +l'infini, alors pour tout epsilon il existe un alpha tel que x>alpha => |f(x)-l|<epsilon. (*)

Soit un epsilon tel que |f(c)-l|<epsilon<|f(d)-l|. alpha s'en suit. Puisque c et d sont arbitrairement grands, on peut les choisir supérieurs à alpha. Par conséquent, d'après (*), on déduit :
|f(c)-l|<epsilon
et |f(d)-l|<epsilon
Ce qui vient en contradiction avec la définition d'epsilon.

Ainsi, une fonction f périodique non constante n'admet pas de limite en +l'infini.

juste svp une remarque!
svp j'ai pas compris pourquoi tu as dit lf(d)-ll>epsilon?
amicalement

peut etre c'est ma faute mais j'ai pas compris qui vous a donne le droit de proposer un tel epsilon: amicalement:D

On peut choisir tout epsilon strictement positif.
On en choisit un qui appartient à l'intervalle ouvert ] |f(c)-l| , |f(d)-l| [

surtout que f(d)=/f(c).on pourrait choisir que epsilon<lf(d)-ll!!
tres bonne methode .je vous remercie!!

Jaime b1 cette limitte merci pour la methode

Ouais moi aussi j'ai essayé d résoudre l'exo en utilisant la définition mais j'ai échoué en fin de compte . Merci