forme linéaire continue

Bonsoir
Soit E un IR-espace vectoriel normé et f une forme linéaire sur E, on pose H = ker f. Montrer que f est continue si et seulement si E \ H n’est pas connexe par arcs.

AA+

Bonjour tµtµ

Je ne vois pas de contradiction avec l'énoncé

AA+

Ouais j'y étais pas ....


Déjà le sens facile :

E\H = { x, f(x) > 0 } U { x, f(x) < 0 }, 2 ouverts disjoints, donc si f est continue E\H n'est pas connexe et donc a fortiori pas connexe par arc.


Je réfléchis à l'autre sens (qui est le vrai problème )

J'ai passé un temps pas possible sur ce superbe exo

Quelques banalités pour commencer :

- si x n'appartient pas à H alors E = IR*x + H
- E1 = { x, f(x) > 0 }, E2 = { x, f(x) < 0 }
E1 et E2 sont convexes, il suffit donc de montrer que l'on peut passer continuement d'1 point de E1 à 1 point de E2 puis de tirer les fils par convexité.
- si x \in E1 alors -x \in E2 et u*x \in E1 si u > 0.

Soit x \in E\H tq f(x)=1 (quitte à remplacer x par x/f(x) on peut prendre f(x) = 1 pour simplifier)


Un lemme classique :

- si f n'est pas continue, un exo classique donne qu'il existe x_n -> 0 et f(x_n) > alpha. De x_n on peut construire une suite (que j'appelle encore x_n par paresse) tq : f(x_n) = 1, x_n -> 0, x_1 = x, ||x_(n+1) || < || x_n ||

- x_n = u_n * x + y_n avec y_n \in H et u_n réels
f(x_n) = 1 = u_n


Une piste vers un bon chemin :

- on définit le chemin phi, affine par morceaux, tq phi(||x_n||) = x - 2*x_n et phi(1) = x.
on a bien f(phi(||x_n||) != 0, on peut prolonger phi en 0 par phi(0) = -x et phi est alors continue (affine par morceaux), phi(0) = -x et phi(1) = x


Qu'en pense notre Professeur ?

Bonjour
ca pourrait être ça ok

A+